- •Глава XIV Теория аналитических функций.
- •§79. Функции и функциональные ряды. Элементарные функции.
- •§80. Производная и интеграл.
- •§80. Производная и интеграл (продолжение).
- •§81. Интеграл Коши и его следствия.
- •§ Ряд Лорана и изолированные особые точки однозначных аналитических функций.
- •§83. Вычеты и их приложения.
- •Конформные отображения
Конформные отображения
Дробно-линейное отображение (окружность в окружности) представляется 3-мя точками: тогда
разность где встречается ∞ заменяется единицей.
№220. Написать какую-либо дробно-линейную функцию, которая переводит круг в нижнюю полуплоскость.
Решение.
На границе данного круга выберем три точки, например, z1=0, z2=2, z3=-2i. на окружности задается направление обхода, при котором круг оказывается справа.
Выберем теперь в плоскости w на действительной оси (которая является границей нижней полуплоскости) три точки w1, w2, w3 таким образом, чтобы при соответствующем обходе границы нижняя полуплоскость оставалась справа. Можно взять, например, w1=0, w2=1, w3=∞. По выбранным трем парам соответственных точек , используя формулу (7.4), запишем искомую дробно-линейную функцию:
- искомое отображение. Это не единственное решение, т.к. точки z1, z2, z3, w1, w2, w3 – произвольные.
Отобразить полосу на верхнюю полуплоскость:
Рассматривая отображение w1=z-3i, получим полосу
с помощью отображения (полоса 0<y<h (h<2π) преобразуется в угол раствора h с вершиной в начале координат)
преобразует полосу в
наконец, отображение w3=w2 (угол в угол ). В нашем случае
Найти функцию, отображающую область на область .
осуществим поворот вокруг нуля на , это осуществляет функция
Следовательно, при данном повороте угол преобразуется в .
Рассмотрим отображение преобразующее угол в угол . В нашем случае
Отобразить угол раствора с вершиной в точке z=2+i ограниченный лучами Arg (z-2-i)=0+2kπ, на нижнюю полуплоскость.
(переводит угол с вершиной в начале координат)
угол в верхней полуплоскости
- искомое отображение.