- •Глава XIV Теория аналитических функций.
- •§79. Функции и функциональные ряды. Элементарные функции.
- •§80. Производная и интеграл.
- •§80. Производная и интеграл (продолжение).
- •§81. Интеграл Коши и его следствия.
- •§ Ряд Лорана и изолированные особые точки однозначных аналитических функций.
- •§83. Вычеты и их приложения.
- •Конформные отображения
§80. Производная и интеграл.
Для того чтобы функция была дифференцируема в точке необходимо и достаточно чтобы функции u(x,y) и v(x,y), рассматриваемые как действительные функции от двух действительных переменных x и y, были дифференцируемы в точке (x,y) и чтобы имели место равенства:
(условие Коши-Римана) При этом производная может быть вычислена по формулам:
№2756. Проверить выполнение условий Коши-Римана и найти производную функции в следующих задачах. (2756-2759)
w=z2. Пусть z=x+iy, тогда w=( x+iy)2=x2-y2+2xyi= , где u(x;y)=x2-y2, v(x;y)=2xy.
Проверим условие Коши-Римана:
т.е. условие Коши-Римана выполняется
№2757.
w=z2+2z-1
Пусть z=x+iy, тогда w=x2-y2+2xyi+2x+2yi-1=x2-y2+2x-1+(2xy+2y)i=u(x;y)+iv(x;y)
т.е. условие Коши-Римана выполняется
№2758.
w=cos 2z
Пусть z=x+iy, тогда
Итак,
Поэтому
Условие Коши-Римана выполняется.
w´=-2sin 2z
№2761. Доказать, что w=z Im z дифференцируема только в точке z=0, найти w´(0).
Проверим условие Коши-Римана.
Пусть z=x+iy, тогда Im z=y и
w´(0)=0+i 0=0
№2760. Доказать, что функция нигде не дифференцируема.
Пусть z=x+iy, тогда и
Условие Коши-Римана не выполняется ни в одной точке, следовательно функция нигде не дифференцируема.
§79.
Радиус R сходимости степенного ряда определяется по формуле Коши-Адамара (круг сходимости |z-z0|<R): , причем R=0, если и R=0, если .
Можно по формуле:
В задачах 2729-2736 определить радиусы сходимости и круг сходимости степенных рядов.
№2729.
(очевидно z0=0)
|Z|<1
№2730
, |z-i|<3 - круг сходимости
№2731
№2732
|z-(-1)|<1 (круг сходимости)
№2733
R=1, |z|<1 (круг сходимости)
т.к.
№2734
(круг сходимости)
№2735
- круг сходимости
№2735
- круг сходимости
§80. Производная и интеграл (продолжение).
Если степенной ряд имеет радиус сходимости R>0, то его сумма дифференцируема в круге |z-z0|<R, причем
Если функция непрерывна на кусочно-гладкой дуге AB, то:
, где в правой части стоят криволинейные интегралы.
Если уравнение кусочно-гладкой дуги AB записать в виде , то:
, где
№2770. Вычислить интеграл по следующим путям:
1) по отрезку прямой, соединяющему начало координат с точкой z=3+2i;
Решение
Очевидно, . Пусть z=x+iy, тогда , dz=dx+idy; и
2) по полуокружности от точки до точки .
Решение
, следовательно, и есть уравнение нашей полуокружности, т.к. она расположена в верхней полуплоскости. x изменяется от 1 до –1.
Итак, возьмем , , , .
Итак,
3) По окружности в положительном направлении.
Решение
, ,
.
№2771. Вычислить интеграл по следующим путям:
По отрезку прямой, соединяющему начало координат с точкой .
Решение
Уравнение прямой: .
.
Тогда,
По дуге параболы от точки до точки .
Решение
По дуге кривой от точки до точки .
Решение
№2772. Вычислить интеграл по следующим путям:
По отрезку прямой, соединяющему начало координат с точкой .
Решение
Найдем уравнение прямой:
По дуге параболы от точки до точки .
Решение