91

для q₁/2=0,01

=0,828947791+ . . . . . . . . . . . . . . . . .(6.22);

=0,761106099+0,000285516n -1,4553·10^-6·n²- . . . . (6.23);

для q₁/2=0,05

=0,82006805+ . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . (6.24);

=0,690817475+0,002664875·n – 4,2945·10^-6·n²+2,77441·10^-7·n³ . . . . . . . . . . . . .(6.25);

для q₁/2=0,1

= 0,865918409 – 0,00105608·n + 7,81398·10^-6·n² + . . (:5.26);

=0,735411585+0,000367873·n – 1,0371·10^-6·n²- . . . . . .(6.27).

Гипотеза о нормальности по первой части составного критерия (d) принимается, если выполняется условие:

≤ d ≤ .

В противном случае гипотеза о нормальном законе распределения результатов измерения отвергается.

Вторая часть составного критерия введена для проверки так называемых «концов распределения». Предполагается, что распределение результатов наблюдения соответствует нормальному закону, если не более m разностей |x_i- | превзойдет значение t_p·S_x, где t_p – квантиль распределения нормированной функции Лапласа (коэффициент Стьюдента).

В том же диапазоне чисел измерений (15<n<50) для оценки соответствия распределения результатов измерений нормальному закону может быть использована статистическая функция. Для ее построения результаты измерений выстраивают в вариационный ряд в порядке возрастания и вычисляют F(x_i) следующим образом:

F(x_i) = . . . . . . . . . . . .(6.28).

График этой функции представляет собой ступенчатую линию, каждая ступенька которой равна 1/(n+1) и соответствует переходу к следующему члену вариационного ряда. Если для некоторых значений x_i = x_i+1 =…=x_i+k, то в точке x_i = x_i+1 F(x_i) возрастает на , где k - число равных между собой членов ряда.

Для проверки нормальности распределения результатов наблюдений вычисляют значения t_i, соответствующие значениям F(x_i) = F(t_i) по следующей формуле:

. . . . . . . . .(6.29),

где b_i=F(x_i).

Зависимости, определяемые выражениями 5.28 и 5.29, выбраны таким образом, что колоколообразная кривая (гауссиана) в таких координатах преобразуется в прямую линию.

Выразив переменную t_i через результаты наблюдений x_i как t_i= , можно получить график с координатами x_i и t_i, представленный на рис. 6.3.

Рис. 6.3

Если экспериментальная зависимость существенно отклоняется от прямой линии, гипотеза о нормальном законе распределения результатов наблюдений отвергается.

Таким образом, оценка истинного значения измеряемой физической величины сводится к определению этого значения Х как функции результата измерения и полученной суммарной погрешности: Х=f(x_i+Δ_i). Другими словами, необходимо получить оценку истинного значения измеряемой физической величины и границы доверительного интервала, внутри которого она находится с принятой доверительной вероятностью.

Алгоритм обработки результатов прямых результатов измерений с мнокократными наблюдениями следующий.

1.Если отсутствует надежная предварительная информация о том, что результаты мнокократных измерений являются равнорассеянными, проводится проверка этой гипотезы ( о равнорассеянности результатов измерений) любым способом. Например, с помощью критериев Фишера или Романовского.

Если полученный ряд результатов многократных наблюдений можно считать равнорассяным, дальнейшую обработку этих результатов проводят по следующему алгоритму:

1.1.Ряд равнорассеянных результатов многократных наблюдений проверяется на наличие систематических погрешностей любым методом. Например, с помощью критериев Аббе, Бартлета и др.

1.2. Обнаруженные систематические погрешности исключаются из результатов наблюдений путем введения соответствующих поправок.

1.3.Если есть подозрения на наличие в исправленном ряде результатов наблюдений грубых погрешностей, он проверяется на их наличие любыми известными способами, например, с помощью критериев Смирнова, Шовенье и др. Обнаруженные грубые погрешности исключаются из дальнейшего рассмотрения.

1.4.Полученный ряд результатов наблюдений выстраивается в вариационный ряд и проводится проверка гипотезы о том, что этот ряд соответствует закону нормального распределения.

1.5. В случае нормального закона распределения результатов наблюдений вычисляется среднее арифметическое значение этих наблюдений, поскольку в этом случае оно является наиболее оптимальной истинного значения измеряемой физической величины.

1.6. Вычисляется среднее квадратическое отклонение результата измерений σ.

1.7. Рассчитывается оценка среднего квадратического отклонения среднего арифметического значения σ_х

1.7.1. Если среднее квадратическое отклонение результата однократного измерения известна заранее, то верхняя и нижняя границы доверительного интервала ±Δ среднего арифметического значения результатов измерений |x_i- |определяется следующим образом:

|x_i- |≤Δ=t_p· σ . . . . . . . . .(6.30).

1.7. 2. Если среднее квадратическое отклонение результата однократного измерения заранее неизвестно, то верхняя и нижняя границы доверительного интервала ±Δ среднего арифметического значения результатов измерений |x_i- |определяется следующим образом:

|x_i- |≤Δ=(t_p· σ_х)/ . . . . . . . . (6.31),

где t_p – коэффициент Стьюдента.

1.8. Определяются границы неисключенной систематической погрешности Θ.

1.8.1. Если отношение Θ/ σ_х<0,8, то систематической погрешностью Θ пренебрегают и суммарная погрешность Δ_∑ определяется случайной погрешностью(t_p· σ_х)/ , т.е. Δ_∑=(t_p· σ_х)/ .

1.8.2. Если отношение Θ/ σ_х >8, пренебрегают случайной погрешностью и суммарная погрешность определяется неисключенными систематическим погрешностями Δ_∑= Θ_нсп.

1.8.3. Если выполняется условие 0,8< Θ/ σ_х < 8, то суммарная погрешность должна учитывать случайную и неисключенную систематическую погрешность:

Δ_∑= . . . . . . . . . . (6.32).

1.9. Результаты представляются в следующем виде:

±Δ, Р=…..

Часто измерения проводятся в несколько этапов, разными наблюдателями, в различное время, в разных условиях с применением различных СИ. Каждому этапу соответствует своя группа измерений со своими средними арифметическими значениями в каждой группе :

№ измерения в группе от i=1 до i=n	№ № групп от j=1 до j=m
(Xi)j	(X1)1	(X1)2	….	(X1)m
	(X2)1	(X2)2	…	(X2)m
	. . .	. . .	. . .	. . .
	(Xn)1	(Xn)2	…	(Xn)j
Средние арифметические значения в группах	( )1	( )2	…	( )j

При этом необходимо найти наиболее достоверное значение ФВ и оценить его отклонение от истинного значения.

Как уже было указано ранее, группы результатов наблюдений называют неравноточными (неравно рассеянными), если оценки их дисперсий значительно отличаются друг от друга, а средние арифметические значения групп являются оценкой одного и того же значения измеряемой ФВ.

Если полученный ряд результатов многократных наблюдений является неравно рассеянным, дальнейшую обработку этих результатов проводят по следующему алгоритму:

2.1 Каждую группу ряда неравноточных результатов многократных наблюдений проверяется на наличие систематических погрешностей любым методом. Например, с помощью критериев Аббе, Бартлета и др.

2.2. Обнаруженные систематические погрешности исключаются из результатов наблюдений путем введения соответствующих поправок.

2.3. Если есть подозрения на наличие в исправленном ряде результатов наблюдений грубых погрешностей, он проверяется на их наличие любыми известными способами, например, с помощью критериев Смирнова, Шовенье и др. Обнаруженные грубые погрешности исключаются из дальнейшего рассмотрения.

2.4. Полученные результаты наблюдений в каждой группе выстраивается в вариационный ряд и проводится проверка гипотезы о том, что этот ряд соответствует закону нормального распределения.

2.5. В случае нормального закона распределения результатов наблюдений в каждой группе вычисляется среднее арифметическое значение этих групп, поскольку в этом случае оно является наиболее оптимальной истинного значения измеряемой физической величины.

2.6. Вычисляется среднее квадратическое отклонение результата измерений в каждой группе.

2.7.Используя принцип максимального правдоподобия, средневзвешенная оценка истинного значения измеряемой физической величины определяется следующим образом:

. . . . . . . . . . . . .(6.33),

где - среднее значение j-й группы наблюдений;

- оценка СКО среднего арифметического в j-й группе;

m - число групп наблюдений.

В литературе описываются другие методы обработки неравноточных много кратных наблюдений, которые по сути отличаются от приведенного обозначениями компонентов, участвующих в обработке экспериментальных данных и видом формул.

Для примера рассмотрим следующий.

Из теории вероятностей известно, что такое среднее взвешенное значение. Если отдельные значения а_i величины А получены с различной степенью точности, характеризуемой средним квадратическим отклонением _i (т.е. с различным СКО), то наиболее вероятным значением величины А является среднее взвешенное его значение:

. . . . . . . . . . . . . .(6.34).

где - вес,

- средневзвешенное значение А.

Иногда пользуется безразмерными весовыми коэффициентами:

; т.е. . . . . . . . . .(6.35).

Тогда средневзвешенное значение равно:

. . . . . . . . . . . . . (6.36);

дисперсия результата измерения D

. . . . . . . . . . .(6.37).

Примечание. В пределах каждой группы измерений их обработка ведется по алгоритму, предложенному для равно рассеянных результатов наблюдений (см. п.п 1…. 1.9).

Контрольные вопросы

1.Какие измерения являются равноточными?

2.Как можно оценить являются ли много кратные измерения равноточными?

3.Что понимается под «неисправленным рядом» измерений?

4.Как можно оценить наличие систематической погрешности в ряду измерений?

5.Как можно исключить или уменьшить систематическую постоянную погрешность?

6.Какие виды неисключенных погрешностей обычно остаются после введения соответствующих поправок?

7.Как учитываются границы неисключенных систематических погрешностей?

8.Что является оценкой истинного значения ФВ, полученной по результатам прямых неравнорассеянных измерений?

9. Что является оценкой рассеивания ФВ, полученной по результатам прямых неравнорассеянных измерений?

6.3. Обработка результатов косвенных измерений.

При косвенных измерениях значение искомой ФВ получают на основании известной зависимости, связывающей эту ФВ с другими прямо измеренными величинами.

Пусть ФВ Q связана с величинами зависимостью , где F - известная функция.

Для этого случая существует следующее правило: эффективная, несмещенная и состоятельная оценка истинного значения измеряемой ФВ равна

(5.37).

Дисперсия этой оценки

(6.38),

где - дисперсия оценок прямо измеренных ФВ,

- коэффициент корреляции между погрешностями измерений величин

Рассмотрим это на примере, когда косвенно измеряемая ФВ Z представляет собой сумму или разницу величин X и Y, определяемых прямыми измерениями, т.е. Z= X + Y (6.39).

Поскольку результаты прямых измерений величин X и Y (после исключения систематических погрешностей), включают в себя случайные погрешности, то формула косвенного измерения суммы (5.39) может быть представлена в следующем виде:

(6.40),

де и - средние арифметические (или средневзвешенные) значения, полученные в результате обработки прямых измерений величин X и Y, ΔХ и ΔY – случайные погрешности средних значений величин X и Y, и ΔZ – оценка истинного значения косвенно измеряемой ФВ и его случайная погрешность.

Из уравнения (5.40) следует, что = ; а ΔZ=ΔX+ΔY (5.41).

Очевидно, что математическое ожидание M( ) = M( ) = M( )+M = , а дисперсия D( )=D( +D( )+2M(ΔXΔY).

Таким образом, оптимальной оценкой истинного значения косвенно измеряемой ФВ, состоящей из суммы двух прямо измеренных ФВ, является сумма математических ожиданий ФВ, определенных путем прямых измерений. Дисперсия ФВ, состоящей из суммы двух ФВ, полученных в результате прямых измерений, является сумма дисперсий средних значений слагаемых ФВ и удвоенного математического ожидания произведения погрешностей измерения этих прямо измеренных ФВ.

Если косвенно измеренная ФВ представляет собой разность двух ФВ, значения которых получены в результате прямого измерения, то оценка истинного значения этой ФВ определяется таким же образом, как ФВ, представляющей сумму двух прямо измеренных ФВ, а дисперсия – сумму дисперсий этих ФВ минус математическое ожидание произведения их погрешностей: D( )=D( +D( )-2M(ΔXΔY).

Контрольные вопросы

1.Как определить эффективную, несмещенную и состоятельную оценку истинного значения ФВ, измеряемой косвенно?

1.Какой параметр функции распределения результатов косвенных измерений берется в качестве оценки истинного значения этой величины?

2. Какой параметр функции распределения результатов косвенных измерений берется в качестве оценки рассеяния этой величины?

6.4. Обработка результатов совокупных и совместных измерений

Этот вид измерений характеризуется тем, что значения искомых величин рассчитывают по системе уравнений, связывающие искомые ФВ с некоторыми величинами, измеряемыми прямым методом. Причем, измеряют несколько комбинаций этих величин.

Каждая комбинация позволяет получить одно уравнение. После подстановки в каждое уравнение экспериментальных значений , системы уравнений, содержащие полную информацию о значениях искомых ФВ, имеют вид:

, . . . . . . . . . (6.41).

где - номер уравнения или комбинации величин ,

- значения искомых величин,

m - число ФВ,

n - число наблюдений j-той величины,

- реализация измерений прямым или косвенным методом величин в i-том опыте.

Если в системе уравнений (6.41) является значениями одной и той же величины, например массы, то измерения совокупные.

Если является значением различных ФВ, то измерения совместные.

Для повышения точности результатов измерений проводят многократные измерения, а обработку проводят методом наименьшим квадратов (МНК). Суть метода заключается в том, что оценки выбирают таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов остаточных погрешностей условным уравнением

.

достигает минимума при значениях , обращающих в ноль все частные производные от по искомым величинам:

, j = 1,2,...,n