Оглавление Курс лекций

КУРС ЛЕКЦИЙ

ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Учебное пособие

МОСКВА 2012

Кафедра «Высшая математика» МГТУ «МАМИ»

Авторы и составители:

Глава 1 — Кудрявцев Б.Ю., Показеев В.В.

Главы 2 и 3 — Матяш В.И.

Главы 4 и 5 — Показеев В.В.

Расчетно-графическая работа —

Короткова Н.Н., Кудрявцев Б.Ю., Матяш В.И., Показеев В.В.,

Черкесова Г.В.

Для направлений и специальностей:

Автомобиле- и тракторостроение Эксплуатация транспорта и транспортного оборудования Наземные транспортные системы Электрооборудование автомобилей и тракторов

Электротехника, электромеханика и электротехнологии Двигатели внутреннего сгорания Машины и технология обработки металлов давлением

Машины и технология литейного производства

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

Глава 1. Системы линейных уравнений………………………7

1.1. Матрицы, действия над матрицами ………………………………7

Основные понятия ………………………………………………7

Операции с матрицами …………………………………………9

Свойства операций ….…………………………………………13

Матричная форма записи системы линейных уравнений ………16

1.2.Определители и их свойства ……………………………………17

Понятие определителя. Миноры и алгебраические дополнения ……………………………………17

Свойства определителей ………………………………………23

1.3.Системы линейных уравнений. Правило Крамера ……………29

Множество решений системы линейных уравнений……………29

Правило Крамера …….…………………………………………31

1.4.Метод обратной матрицы в решении систем линейных уравнений.…………………………………………………………38

Обратная матрица. Существование обратной матрицы.…………38

Решение систем линейных уравнений

иматричных уравнений ………………………………………41

1.5.Метод Гаусса ..……………………………………………………45

Элементарные преобразования уравнений системы ……………45

Метод Гаусса в произвольных системах линейных уравнений……………………………………………51

Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли ……………………58

Однородные системы …………………………………………59

Глава 2. Векторная алгебра ……………………………………65

2.1.Понятие вектора

илинейные операции над векторами……………………………65

Понятие геометрического вектора………………………………65

Линейные операции с векторами ………………………………69

Свойства линейных операций с векторами ……………………72

Линейные комбинации векторов ………………………………74

Линейно независимые

илинейно зависимые векторы …………………………………75

Линейные комбинации двух векторов …………………………77

Линейные комбинации трех векторов …………………………77

Линейная зависимость четырех векторов ………………………79

Понятие базиса. Координаты вектора …………………………80

2.2. Скалярное произведение векторов………………………………84

Угол между векторами. Проекция вектора на ось………………84

Определение скалярного произведения…………………………86

Алгебраические свойства скалярного произведения ……………87

Геометрические свойства скалярного произведения ……………89

Выражение скалярного произведения через координаты векторов в ортонормированном базисе…………………………90

2.3 Векторное и смешанное произведения векторов ………………92

Ориентация тройки векторов……………………………………92

Векторное произведение двух векторов ……………………..…94

Смешанное произведение трех векторов и его свойства ………96

Алгебраические свойства векторного произведения ……………99

Вычисление векторного и смешанного произведений

вортонормированном базисе …………………….…..………100

2.4.Условия коллинеарности, ортогональности и компланарности векторов …………………………………………………………102

Условия коллинеарности………………………………………102

Условия ортогональности ……………………………………103

Условия компланарности ……………………………………103

Глава 3. Прямая и плоскость …………………………………105

3.1. Системы координат ……………………………………………105

Предварительные замечания …………………………………105

Декартовы координаты на прямой ……………………………109

Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве………………………………………………110

Понятие об уравнениях поверхностей и линий……………..…112

Полярная система координат …………………………………115

3.2.Простейшие задачи аналитической геометрии ………………116

Расстояние между двумя точками ……………………………116

Деление отрезка в заданном отношении………………………117

3.3.Различные уравнения плоскости и прямой……………………119

Способы задания плоскости и прямой…………………………119

Общее уравнение плоскости …………………………………121

Уравнение плоскости в отрезках………………………………125

Нормированное уравнение плоскости…………………………126

Параметрические уравнения плоскости ………………………130

Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве …..……………………………………..…131

Прямая, заданная пересечением двух плоскостей ……………133

Уравнения прямой на плоскости………………………………134

3.4. Некоторые задачи аналитической геометрии…………………137

Уравнение плоскости, проходящей через три точки …………137

Уравнение прямой, проходящей через две точки………………137

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку, и перпендикулярной данной плоскости………………………138

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, и перпендикулярной данной прямой…………………………138

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, и параллельной данной плоскости……….……………………138

Пересечение прямой и плоскости ……………………………139

Расстояние от точки до плоскости ……………………………140

Расстояние от точки до прямой ………………………………142

Глава 4. Линейные пространства ……………………………149

4.1. Линейное пространство и его реализации ……………………149

Определение линейногопространства ………………………149

Примеры линейных пространств………………………………151

Простейшие следствия аксиом линейного пространства ……155

4.2.Линейная зависимость и независимость векторов. Размерность

ибазис линейного пространства ………………………………156

Понятие линейной зависимости

илинейной независимости векторов …………………………156

Свойства линейно зависимых векторов ………………………157

Размерность и базис линейного пространства…………………159

Критерий линейной независимости……………………………162

Размерность и базис пространства Rn арифметических векторов………………………………………………………164

Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат вектора при изменении базиса ………………………………168

4.3. Евклидово пространство ………………………………………171

Определение евклидова пространства ……………….………171

Вычисление скалярного произведения

впроизвольном базисе ………………………………………177

4.4.Ортонормированный базис евклидова пространства…………183

Ортогонализация базиса евклидова пространства ……………188

Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису…………………………191

4.5. Линейные операторы……………………………………………193

Действия с линейными операторами …………………………199 Преобразование матрицы линейного оператора при переходе от базиса к базису ……………………………………………201

4.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора……………………………………………203

Самосопряженные операторы…………………………………212

4.7. Билинейные и квадратичные формы …………………………219

Условие знакоопределенности квадратичной формы …………226

Приведение квадратичной формы к сумме квадратов (приведение к каноническому виду) …………………………228

Глава 5. Кривые и поверхности второго порядка ………231

5.1. Эллипс……………………………………………………………231

Вывод уравнения эллипса ……………………………………231

Построение и исследование формы эллипса …………………236

5.2.Гипербола ………………………………………………………239

Построение и исследование формы гиперболы ………………243

5.3.Парабола…………………………………………………………246

5.4.Эксцентриситет эллипса и гиперболы.

Директрисы эллипса и гиперболы ……………………………249

5.5. Оптические свойства эллипса, гиперболы, параболы ………255

5.6.Общее уравнение кривой второго порядка.

Приведение уравнения кривой второго порядка

кканоническому виду

…………………………………………260

5.7.Поверхности второго порядка …………………………………273

Расчетно-графическая работа…………………………………283