2. Краткие сведения из теории вероятностей ...

z²

f(z) = —т^=-е ² = ф(г) V2tc

(2.28)

Графики этих функций показаны на рис. 2.3 в, г, причем

Ф(-г) = 1 - Ф(г), (2.29)

ф(-г) = ф(г). (2.30)

Покажем справедливость соотношения (2.29). Рассмотрим график плот­ности стандартного нормального распределения (см. рис. 2.3,г). Обозначим площадь под ним левее точки - z через Si; площадь между -z и z - через S2, оставшуюся площадь (правее z) - через S3. Тогда, во-первых, из симметрично­сти графика плотности следует, что Si = S3. Во-вторых, S1+S2 +S₃ =1 или S-i+(Si +S2)=1 (вся площадь под графиком плотности равна единице). По смыслу функции распределения Si = 0(-z), S1+S2 = 0(z). Следовательно, 0(-z) + 0(z) =1, откуда и следует равенство (2.29).

Значения нормированной функции (2.27) нормального распределения (функции Лапласа) и значения плотности нормированного нормального распре­деления (2.28) табулированы и приведены в различных учебниках и справочни­ках по математической статистике (наиболее подробные таблицы см. [11]). В списке статистических функций электронных таблиц Microsoft Excel им соответ­ствуют НОРМРАСП(х; 0; 1; ИСТИНА) или НОРМСТРАСП(г) - для (2.27) и НОРМРАСП(х; 0; 1; ЛОЖЬ) -для (2.28).

Геометрически функция Лапласа представляет площадь под кривой f(z) в интервале от -оо до некоторой конкретной величины z.

Заметим, что иногда вместо функции Ф(г) табулируется функция Ф₀(г):

2

Z

-, Z Z

4ъг

о

равная площади под графиком стандартного нормального распределе­ния от 0 до z (см. рис.2.3, г).

В силу симметрии

31

2. Краткие сведения из теории вероятностей ...

2

0 1

1

2ъг

\е 2<iz = 1/2

Поэтому между функциями и существует простая зависимость

Ф(г)= 14+ Фо(г).

Функция Фо(г) нечетна:

Фо(-г) = - Фо(г).

В самом деле,

Фо(-г) = Ф(-г) - 14 = 1 - Ф(г) - 14 = 14-(1/2+ Фо(-г)) = - Фо(г).

В соответствии с (2.19) квантиль z_p порядка р, нормированного нормаль­ного закона распределения - это такое значение приведенной случайной вели­чины Z, для которого функция распределения (2.27) принимает значение Р:

Ф(г_р) = Р. (2.31)

При определении квантили z_p необходимо решать задачу, обратную за­даче определения значений функции Лапласа, т.е. по известному значению Р этой функции (2.27) находить соответствующее ему значение аргумента z_p. Для этого можно либо воспользоваться табулированными значениями функции Ла­пласа (например, поскольку <P(1,64J = 0,94950, a <P(1,65J = 0,9505, то zogs ~ 1,645 ), либо воспользоваться таблицами для функции, обратной функции Лап­ласа, т.е. табулированными значениями квантилей нормированного нормально­го закона распределения (см. [11] или приложение). Определение квантили z_p в электронных таблицах Microsoft Excel сводится к вычислению статистической функции НОРМОБР(Р; 0; 1) или НОРМСТОБР(Р) (например, НОРМОБР(0,95; 0; 1) = НОРМСТОБР(0,95) = 1,644853).

Для квантили стандартного нормального распределения справедливо следующее равенство:

zi- p = - z_p. (2.32)

Рассмотрим график плотности стандартного нормального распределения (рис.2.4). Площадь под графиком левее квантили z_p по определению равна р. Значит, площадь правее этой точки равна 1 - р. Такая же площадь располо­жена левее точки z?__p Итак, площади левее z?__p и правее z_p равны. Поскольку

32