Функциональный анализ и интегральные уравнения

1. Мера. Мера Лебега на прямой. Интеграл Лебега: определение и свойства.

ОПР.Пусть S-полукольцо подм-ва мн-ва Ф(X).Числовую ф-цию опр-ю на полукольце S приним-ю знач-я из не равную тождественно (т.е. б. наз. мерой, если она аддитивна, т.е. мн-в : число наз мерой мн-ва А

Опр Мера наз счетно-аддитивной если из

счетно-адд1. меру также наз аддитивной ОПР мера наз конечной, если ОПР мера наз конечной, если кон. или ,счетное числ их:

ОПР Пусть мера опр-я на полук-це S, мера опр-ная на полуко-льце наз продолжением меры ,если 1) 2)

Т Пусть полук-цо и мера опр-на , и един-ное прод-ние меры на с наим. кол-м содер-м S и если адд-я,то аддитивная.

СВ-ВА МЕРЫ 1) если A,B 2) если 3)если

4) чтобы б. адд-на

5) Пусть адд-ная на S и посл-ть явл неубыв,т.е. 6) пусть аддит. на S и пос-ть невозр:

Т мера Лебега на прямой аддитивна Д Пусть ,т.е.

Ин-л Леб для пр-х ф пр-во полной мерой

Опр ф-ю h(x) опр на мн-ве E б.наз.простой если измерима на мн-ве Е Опр Пусть знач-я ф-ции h(x) и мн-во на кот h(x) принимает знач

ОПР Ин-лом Л. для неотр ф-ций f измеримой на Е наз число= h-простая на Е}и Ин-л Л. Пусть f измерима на Е, расс-м ф-и ,они неотриц-е и измеримы на Е и справедливо опр измеримую на мн-ве Е ф-ю б.наз. интегрируемой на Е, если ,если интегрируема,то интег-емы в силу нер-в поэтому опр-на разность кот наз ин-лом от ф-ции f по мн-ву Е

СВ-ВА 1) если ф-ции f и g интег-емы на Е и на Е

2) если на Е вып-но и g интег-ема на Е f интег-ма на Е

3) если ф-ции f и g интег-мы на Е тоже инт-мы на Е

и 4) (счетная аддитивность ин-ла Л.) Пусть ин-ма на мн-ве А причем ряд справа абсолютно сх-ся

,т.к.разность сходящихся есть сх-ся ряд абсол сх-ти рядов 5) (абсол-я непр-ть ин-ла Л) f-ин-ма на Е мера 6) если f=0 почти всюду на Е, то

2. Метрические пространства. Непрерывные функционалы. Св-ва функций, непрер-ых на компакте.

ОПР X-нек мн-во, метрикой на Х наз отображения: приним-я неотриц-е зн-я,т что вып-ны аксиомs метрики:1) p(x,y)=0 x=y 2) p(x,y)=p(y,x) 3) p(x,y)<p(x,z)+p(z,y). Зн-е p(x,y) на паре x,y наз расстоянием м/у x и y.Мн-во X б.наз. пр-вом,а подмн-во пр-ва X мн-ми в пр-ве X.ОПР Мн-во X с заданной на нем метрикой б.наз.метрическим пр-вом и обозн (X,p). Мн-во .

Пара наз подпр-вом пр-ва (X,p)

Пусть (X,p),(Y,d) метр пр-ва, от-е назыв непрер в т.х0, если . f назыв непрер в т., если

назыв компактом, если люб открытое подпокрытие К сод-т кон-е подпокр.

Теор: предкомп Е равном огранич и равном непрер.

назыв равном непрер, если

назыв равном непрер, если

3. Нормированные пространства (банаховы пространства; гильбертовы пространства; ортогональные системы; ряды Фурье; равенство Парсеваля; неравенство Бесселя).

Отображение норма действ из вект. пр-ва Х в R будем называть нормой на Х если

1)||x||≥0  хХ ||x||=0 x=0; 2)||λx||=|λ|·||x||  хХ,  λК; 3) ||x+y||≤||x||+||y||

Векторное пространство Х с заданной на нем нормой называется нормированным пространством.

 нормированное пр-во явл. метрическим пр-вом. Метрика вводится след-м образом (х,у)=||x-y||

Проверим, что выполняются аксиомы метрики: 1)(х,у)=0  ||x-y||=0 x=y ||x-x||=0 (обратное очевидно); 2)очевидно ||x-y||=||y-x||; ||x-y||=||(-1)(y-x)||=|-1| ||y-x||= ||y-x||; 3)(х,у) ≤(х,z)+ (z,у)

Полное нормированное пространство наз банаховым простр. (полное нормированное простр-во явл метрическим, то понятие полного нормированного пространства означает, что оно полное как метрич пр-во относительно метрики (х,у)= ||x-y||

Пусть Н- линейное пр-во над полем К, если каждой паре (х,у)Н поставлено в соответствие некоторое число (х,у)К причем выполнены -е условия:

1)(х₁+х₂)у=х₁у+х₂у, (х,у)=(х,у) х₁,х₂,х,уН К (линейность по первой координате); 2)(х,у)=(у,х); 3)(х,х)0 (х,х)=0 х=0 то говорят, что на пр-ве Н введено скалярное произведение

Векторное пр-во с введенным на нем скалярным произведением наз прелгильбертовым пр-вом или евклидовым.

Т-ма В предгильбертовом пр-ве справедливо неравенство Коши-Буняковского: ||(x,y)|| ||x||||у||, ||x||=(х,у)

Доказательство: Если х=0, то нер-во очевидно т.к. (0,у)=(х₁-х₁,у)

Пусть теперь у0 z=у (х-z,у)=0 т.е. (х-у,у)=0  (х,у)-(у,у)=0  = 0(х-у,х-у)=(х-у,х)-(х-у,у)=(х-у,х)=(х,х)-(у,х)=(х,х)- (у,х)= (х,х)- =(х,х)-

- =||x||²-|(x,y)|² 0

Т-ма 2 ||x||= определяет норму в пр-ве Н (евклидово пр-во). Т-ма 2 ||x||= определяет норму в пр-ве Н (евклидово пр-во).

Предгильбертово пр-во полное относительно нормы ||x||= наз гильбертовым пр-вом.

Т-ма 3 Всякое предгильбертово пр-во можно пополнить до гильбертова. Это осуществляется следующим образом т.к. предгильб пр-во является нормированным, то оно является и метрическим, а всякое метрическое имеет пополнение. Пусть Н₀ – предгильбертово пр-во обозначим ч/з Н пополнение Н₀ как метрического пр-ва если (х,у)Н,но Н₀, то  последовательность х_n х_nН₀ и  у_n у_nН₀ : х_n сход к х, у_nу (х,у)= ( х_n, у_n)  -е предела  т из непрерывности скалярного произведения которое доказывается с помощью неравенства Коши-Буняковского.

Система векторов (е_i) в предгильбертовом пр-ве Н наз ортогональной, если  2 вектора различные этой системы ортогональны. 2 вектора ортогональны, если их скалярное произведение =0.

Система векторов (е_i) iN наз ортонормированной если (e_i,e_j)=

C_n=(x,e_n) – коэффициенты Фурье, элемента хЕ,по ортонормированной

системе е_к, а ряд наз рядом Фурье элемента х по ортонормированной системе е_к

Неравенство Бесселя: Если с_к ортонормированная система в предгильбертовом пр-ве Н, то для  элемента хН справедливо неравенство . Доказательство: т.к. ||x- ||²0 , а ||x- ||²=(х,х)- =||x||²   ||x||² переходя к пределу при n получим неравенство Бесселя. Ортонормированная система наз замкнутой если нер-во Бесселя обращается в равенство = ||x||² его называют равенство Парсеваля Стеклова.

4. Линейные функционалы и операторы(норма оператора; связь непрерывности линейного оператора с его ограниченностью; теорема Банаха-Штейнгауза (принцип равномерной ограниченности); теорема Банаха об обратном операторе).

Отображение норма действ из вект. пр-ва Х в R будем называть нормой на Х если 1)||x||≥0  хХ ||x||=0 x=0; 2)||λx||=|λ|·||x||  хХ,  λК; 3) ||x+y||≤||x||+||y||

Векторное пространство Х с заданной на нем нормой называется нормированным пространством. нормированное пр-во явл. метрическим пр-вом. Метрика вводится след-м образом (х,у)=||x-y||

Проверим, что выполняются аксиомы метрики: 1)(х,у)=0  ||x-y||=0 x=y ||x-x||=0 (обратное очевидно); 2)очевидно ||x-y||=||y-x||; ||x-y||=||(-1)(y-x)||=|-1| ||y-x||= ||y-x||; 3)(х,у) ≤(х,z)+ (z,у)

Полное нормированное пространство наз банаховым простр. (полное нормированное простр-во явл метрическим, то понятие полного нормированного пространства означает, что оно полное как метрич пр-во относительно метрики (х,у)= ||x-y||

Пусть Х₁ и Х₂ – линейные пр-ва, над одним и тем же полем R, отображение А:Х₁Х₂ будем называть линейным отображением или линейным оператором, если 1) А(х,у)=А(х)+А(у) х,уХ₁ ; 2) А(х)=А(х) хХ₁, К. Если Х₂=К (R или С), то линейное отображение А будем называть линейным функционалом.

Линейный оператор А:Х₁Х₂, Х₁, Х₂ нормированные пр-ва, называется ограниченным, если для хХ₁, Ах_Х2сх_Х1 с- некоторая константа не зависящая от х.

Линейный функционал наз ограниченным, если он ограничен как оператор т.к. функционал это частный случай линейного оператора.

Теорема 1 Пусть А:Х₁Х₂ линейный оператор действующих из нормированного пр-ва Х₁ в нормированное пр-во Х₂, тогда  е условия равносильны 1) А – непрерывен в 0; 2) А – непрерывен; 3) А- равномерно непрерывен; 4) А – ограничен.

Теорема Банаха-Штейнгаусса. Пусть Х,У – нормированные пр-ва, Х- банахово пр-во, пусть МL(х,у), т.е. М- мн-во линейных ограниченных операторов действущий из Х вУ, причем: хХ, const C_x : ||Ax||C_x AM, тогда  абсолютная const С>0 : ||A||С АМ

Теорема Банаха об обратном операторе. Пусть А – линейный ограниченный оператор действующий из нормированного пр-ва Е₁ в Е₂ взаимнооднозначно отображая Е₁ на Е₂, и пусть Е₁ и Е₂ банаховы пр-ва, тогда А^-1  и ограничен. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: -е обратного оператора -т из того что А взаимно однозначно отображает Е₁ на Е₂ линейность доказана. Остается проверить,что А^-1 ограниченный оператор и поскольку условие ограниченности равносильно усл непрерывности, то воспользовавшись критерием непрерывности отображения А, а именно отображения А – непр, если прообраз открытого мн-ва явл открытым, достаточно показать, что (А^-1)^-1(U) явл открытым U – откр в Е₁  (А^-1)^-

¹(U)=А(U) – открыто по теореме об открытом отображении. (ч.т.д.)