ПТЦА

94. Системой счисления называется совокупность приемов обозначения чисел - язык, алфавитом которого являются символы (цифры), а синтаксисом - правило, позволяющее сформулировать запись чисел однозначно.

Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа.

Позиционные системы счисления — это системы счисления, в которых значение цифры напрямую зависит от её положения в числе. Например, число 01 обозначает единицу, 10 — десять.

Позиционные системы счисления позволяют легко производить арифметические расчёты.

Представление чисел с помощью арабских цифр — самая распространённая позиционная система счисления, она называется «десятичной системой счисления». Десятичной системой она называется потому, что использует десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Для составления машинных кодов удобно использовать не десятичную, а двоичную систему счисления, содержащую только две цифры, 0 и 1. Программисты для вычислений также пользуются ещё восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления.

Количество цифр, используемых в системе счисления, называется её «основанием». В десятичной системе основание равно десяти, в двоичной системе — двум, ну а в восьмеричной и шестнадцатеричной — соответственно, восьми и шестнадцати. То есть в р-ичной системе счисления количество цифр равно р и используются цифры от 0 до р-1.

В общем случае в позиционной системе счисления числа представляются следующим образом:  , где   — цифры, а   — основание системы счисления. Если используется десятичная система, то   — можно опустить.

В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе. Например, в римской непозиционной системе счисления для каждого числа используется некоторый набор базовых символов (I, V, X, L, C, D, M), соответствующих числам 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Остальные значения чисел получаются из базовых путём сложения (например, 700=DCC) или вычитания (например, 800=CCM).

Вес разряда — отношение количественного эквивалента цифры в этом разряде к количественному эквиваленту той же цифры в нулевом разряде pi = si, где i — номер разряда, а s — основание системы счисления. Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера.

Базис системы счисления — это последовательность ключевых чисел, каждое из которых задает значение цифры в ее позиции или «вес» каждого разряда. Для двоичной системы счисления: …¼, ½, 1,2,4,8,16,32,64,112…

Однородные системы счисления - системы использующие цифры одного множества. Пример: десятичные ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ).

Неоднородные ( смешанные ) системы счисления . Пример: система подсчета времени ( 60 секунд = 1 минута, 60 минут = 1 час, 24 часа = 1 сутки ).

Каноническая двоичная СС -

95. Представление отрицательных чисел.

Прямой код – это представление числа в двоичной системе счисления, при котором первый (старший) разряд отводится под знак числа. Если число положительное, то в левый разряд записывается 0; если число отрицательное, то в левый разряд записывается 1. Таким образом, в двоичной системе счисления, используя прямой код, в восьмиразрядной ячейке (байте) можно записать семиразрядное число. Например: 0 00011010 - положительное число 1 00011010 – отрицательное число

Дополнительный код В дополнительном коде, также как и прямом, первый разряд отводится для представления знака числа. Прямой код используется для представления положительных чисел, а дополнительный – для представления отрицательных. Поэтому, если в первом разряде находится 1, то мы имеем дело с дополнительным кодом и с отрицательным числом. Все остальные разряды числа в дополнительном коде сначала инвертируются, т.е. заменяются противоположными (0 на 1, а 1 на 0). Например, если 1 0001100 – это прямой код числа, то при формировании его дополнительного кода, сначала надо заменить нули на единицы, а единицы на нули, кроме первого разряда. Получаем 1 1110011. Но это еще не окончательный вид дополнительного кода числа.

Далее следует прибавить единицу к получившемуся инверсией числу: 1 1110011 + 1 = 1 1110100

В итоге и получается число, которое принято называть дополнительным кодом числа.

Причина, по которой используется дополнительный код числа для представления отрицательных чисел, связана с тем, что так проще выполнять математические операции. Например, у нас два числа, представленных в прямом коде. Одно число положительное, другое – отрицательное и эти числа нужно сложить. Однако просто сложить их нельзя. Сначала компьютер должен определить, что это за числа. Выяснив, что одно число отрицательное, ему следует заменить операцию сложения операцией вычитания. Потом, машина должна определить, какое число больше по модулю, чтобы выяснить знак результата и определиться с тем, что из чего вычитать. В итоге, получается сложный алгоритм. Куда проще складывать числа, если отрицательные преобразованы в дополнительный код. Это можно увидеть на примерах ниже.

Обратный код Обратный код двоичного числа образуется по следующему правилу. Обратный код положительных чисел совпадает с их прямым кодом. Обратный код отрицательного числа содержит единицу в знаковом разряде числа, а значащие разряды числа заменяются на инверсные, т.е. нули заменяются единицами, а единицы нулями.

Пример. А10 = +10; А2 = +1010; [А2]ок = [А2]п = 0|1010 В10 = –15; В2 = –1111; [В2]ок = 1|0000

96. Д-кодом называется представление десятичных чисел в котором каждая десятичная цифра представляется тетрадой двоичных символов.

Требования к Д-кодам:

• различным десятичным числам должны соответствовать различные тетрады

• бОльшая десятичная цифра – бОльшая тетрада

• желательно чтобы разряды тетрад имели фиксированный вес

Отличительные свойства Д-кодов: Д-коды содержат как разрешенные так и запрещенные комбинации. Наиболее используемые – Д1, Д2, Д4 коды.

Д1: код прямого замещения разрешенных комбинаций двоичными эквивалентами десятичных цифр. Код Д1 не выполняет 3е условие.

Д2: цифры 0-4 такие же как и в Д1, а остальные получается путем прибавления к ним тетрады 0110. Это дает возможность любую цифру превратить в её дополнение до 9 простым инвертированием. Он удовлетворяет всем требованиям.

Д4: получается из Д1 прибавлением тетрады 0011. Для кода Д4 не существует целочисленных значений весов разряда.

Д1 и Д4 – двойственные коды.

Умножение чисел представленных в Д-кодах

• Сводится к последовательному суммированию частных произведений полученных при умножении множимого на очередную цифру множителя.

• Умножение сопровождается расшифровкой значений очередной тетрады множителя и сдвигом на одну тетраду вправо.

• Расшифровка – это последовательное вычитание единицы из значения управляющей тетрады (тетрада, которая уже подготовлена к вычитанию единицы) до получения куля и соответствующее прибавление множимого в сумматор на каждом такте.

Деление на Д-кодах

• Выполняется последовательным вычитанием делителя из делимого и в последующем из остатков

• Вычитание производится до получения отрицательного остатка

• При получении положительного остатка каждый раз в счетчик где накапливается цифра частного добавляется 2.

• При получении отрицательного остатка происходит синхронный сдвиг влево на одну тетраду сумматора и регистра С.

• Делитель прибавляется к отрицательному остатку до тех пор, пока не получится положительный остаток.

• Количество сложений без последовательного является дополнением соответствующей цифры частного.

• Деление происходит или на ДСДК, или ДСОК