5. Нахождение оптимальной производственной программы

Обозначим f_n(i) – это минимальные затраты в течение n последних отрезков времени при начальном уровне запасов i;

x_n(i) – выпуск продукции, который позволяет достичь этих минимальных затрат f_n(i).

Возьмём n=1.

Рассмотрим программу на последний месяц (на июнь).

D₆=D_июня=3 – спрос на июнь.

Запишем балансовое условие:

i₀=i₁+x₁ – d₁;

где i₀=i_кон =1 – уровень запасов на конец всего планового периода.

d₁=D₆=3-спрос на июнь,

Тогда 1=i₁+x₁ – 3.

Следовательно, i₁=4 – x₁; i₁=0,1,2,3.

Уровень запасов для n=1 не превышает 3.

Выпуск в июне x=4 – i, где i – запас на начало последнего периода (на 1 июня).

Cоставляем таблицу:

Таблица 1

f₁(i) = C(x_t)+h*i_кон

f₁(i) = 12+2(4-i)+2*1

i	x1(i)	f1(i)
0	4	22
1	3	20
2	2	18
3	1	16

Для n=2

D₅=D_мая=3.

Формула для заполнения клеток таблицы равна:

12+2x+h(i+x-3)+f₁(i+x-3), где

h=2 – затраты на хранение единицы продукции;

12+2x – затраты на производство;

2(i+x-3) – затраты на хранение;

f₁(i+x-3) – минимальные затраты на июнь.

Ограничения для уровня запасов i ≤ 0,1,2,3, d1+d2. Тогда для заданной задачи d1+d2=6, но по условию i = 0,1,2,3; следовательно, i ≤ 3.

Ограничения для выпуска продукции: d₂ – i ≤ x₁ ≤ (d₂+ d₁) – i ;

3-i ≤ x ≤ 6-i.

Расчёт запрещённых клеток:

i=0, следовательно 3≤x≤6, но по условию x_t ≤ 5 и тогда 3≤x≤5

i=1 следовательно 2≤x≤5

i=2 следовательно 1≤x≤4

i=3 следовательно 0≤x≤3

Таблица 2

xi	0	1	2	3	4	5	x2(i)	f2(i)
0	*	*	*	40	42	44	3	40
1	*	*	38	40	42	44	2	38
2	*	36	38	40	42	*	1	36
3	22	36	38	40	*	*	0	22

Клетка (0;3): (12+2*3)+2(0+3-3)+f₁(0+3-3)=18+0+22=40

Клетка (0;4): (12+2*4)+2(0+4-3)+f₁(0+4-3)=20+2+20=42

Клетка (0;5): (12+2*5)+2(0+5-3)+f₁(0+5-3)=22+4+18=44

Клетка (1;2): (12+2*2)+2(1+2-3)+f₁(1+2-3)=16+0+22=38

Клетка (1;3): (12+2*3)+2(1+3-3)+f₁(1+3-3)=18+2+20=40

Клетка (1;4): (12+2*4)+2(1+4-3)+f₁(1+4-3)=20+4+18=42

Клетка (1;5): (12+2*5)+2(1+5-3)+f₁(1+5-3)=22+6+16=44

Клетка (2;1): (12+2*1)+2(2+1-3)+f₁(2+1-3)= 14+0+22=36

Клетка (2;2): (12+2*2)+2(2+2-3)+f₁(2+2-3)= 16+2+20=38

Клетка (2;3): (12+2*3)+2(2+3-3)+f₁(2+3-3)= 18+4+18=40

Клетка (2;4): (12+2*4)+2(2+4-3)+f₁(2+4-3)= 20+6+16=42

Клетка (3;0): (12+2*0)+2(3+0-3)+f₁(3+0-3)= 0+0+22=22

Клетка (3;1): (12+2*1)+2(3+1-3)+f₁(3+1-3)= 14+2+20=36

Клетка (3;2): (12+2*2)+2(3+2-3)+f₁(3+2-3)= 16+4+18=38

Клетка (3;3): (12+2*3)+2(3+3-3)+f₁(3+3-3)= 18+6+16=40

Для n=3 формула заполнения таблицы следующая:

12+2x+2(i+x-3)+f₂(i+x-3)

Таблица 3

xi	0	1	2	3	4	5	x3(i)	f3(i)
0	*	*	*	58	60	62	3	58
1	*	*	56	58	60	50	5	50
2	*	54	56	58	48	*	4	48
3	40	54	56	46	*	*	0	40

Клетка (0;3): (12+2*3)+2(0+3-3)+f₁(0+3-3)=18+0+40=58

Клетка (0;4): (12+2*4)+2(0+4-3)+f₁(0+4-3)=20+2+38=60

Клетка (0;5): (12+2*5)+2(0+5-3)+f₁(0+5-3)=22+4+36=62

Клетка (1;2): (12+2*2)+2(1+2-3)+f₁(1+2-3)=16+0+40=56

Клетка (1;3): (12+2*3)+2(1+3-3)+f₁(1+3-3)=18+2+28=58

Клетка (1;4): (12+2*4)+2(1+4-3)+f₁(1+4-3)=20+4+36=60

Клетка (1;5): (12+2*5)+2(1+5-3)+f₁(1+5-3)=22+6+22=50

Клетка (2;1): (12+2*1)+2(2+1-3)+f₁(2+1-3)= 14+0+40=54

Клетка (2;2): (12+2*2)+2(2+2-3)+f₁(2+2-3)= 16+2+38=56

Клетка (2;3): (12+2*3)+2(2+3-3)+f₁(2+3-3)= 18+4+36=58

Клетка (2;4): (12+2*4)+2(2+4-3)+f₁(2+4-3)= 20+6+22=48

Клетка (3;0): (12+2*0)+2(3+0-3)+f₁(3+0-3)= 0+0+40=40

Клетка (3;1): (12+2*1)+2(3+1-3)+f₁(3+1-3)= 14+2+38=54

Клетка (3;2): (12+2*2)+2(3+2-3)+f₁(3+2-3)= 16+4+36=56

Клетка (3;3): (12+2*3)+2(3+3-3)+f₁(3+3-3)= 18+6+22=46

Для n=4 формула заполнения таблицы следующая:

12+2x+2(i+x-3)+f₃(i+x-3)

Таблица 4

xi	0	1	2	3	4	5	x4(i)	f4(i)
0	*	*	*	76	72	74	4	72
1	*	*	74	70	72	68	5	68
2	*	72	68	70	66	*	4	66
3	58	66	68	64	*	*	0	58

Клетка (0;3): (12+2*3)+2(0+3-3)+f₁(0+3-3)=18+0+58=76

Клетка (0;4): (12+2*4)+2(0+4-3)+f₁(0+4-3)=20+2+50=72

Клетка (0;5): (12+2*5)+2(0+5-3)+f₁(0+5-3)=22+4+48=74

Клетка (1;2): (12+2*2)+2(1+2-3)+f₁(1+2-3)=16+0+58=74

Клетка (1;3): (12+2*3)+2(1+3-3)+f₁(1+3-3)=18+2+50=70

Клетка (1;4): (12+2*4)+2(1+4-3)+f₁(1+4-3)=20+4+48=72

Клетка (1;5): (12+2*5)+2(1+5-3)+f₁(1+5-3)=22+6+40=68

Клетка (2;1): (12+2*1)+2(2+1-3)+f₁(2+1-3)= 14+0+58=72

Клетка (2;2): (12+2*2)+2(2+2-3)+f₁(2+2-3)= 16+2+50=68

Клетка (2;3): (12+2*3)+2(2+3-3)+f₁(2+3-3)= 18+4+48=70

Клетка (2;4): (12+2*4)+2(2+4-3)+f₁(2+4-3)= 20+6+40=66

Клетка (3;0): (12+2*0)+2(3+0-3)+f₁(3+0-3)= 0+0+58=58

Клетка (3;1): (12+2*1)+2(3+1-3)+f₁(3+1-3)= 14+2+50=66

Клетка (3;2): (12+2*2)+2(3+2-3)+f₁(3+2-3)= 16+4+48=68

Клетка (3;3): (12+2*3)+2(3+3-3)+f₁(3+3-3)= 18+6+40=64

Для n=5 формула заполнения таблицы следующая:

12+2x+2(i+x-3)+f₄(i+x-3)

Таблица 5

xi	0	1	2	3	4	5	x5(i)	f5(i)
0	*	*	*	90	90	92	3 и 4	90
1	*	*	88	88	90	86	5	86
2	*	86	86	88	84	*	4	84
3	72	84	86	82	*	*	0	72

Клетка (0;3): (12+2*3)+2(0+3-3)+f₁(0+3-3)=18+0+72=90

Клетка (0;4): (12+2*4)+2(0+4-3)+f₁(0+4-3)=20+2+68=90

Клетка (0;5): (12+2*5)+2(0+5-3)+f₁(0+5-3)=22+4+66=92

Клетка (1;2): (12+2*2)+2(1+2-3)+f₁(1+2-3)=16+0+72=88

Клетка (1;3): (12+2*3)+2(1+3-3)+f₁(1+3-3)=18+2+68=88

Клетка (1;4): (12+2*4)+2(1+4-3)+f₁(1+4-3)=20+4+66=90

Клетка (1;5): (12+2*5)+2(1+5-3)+f₁(1+5-3)=22+6+58=86

Клетка (2;1): (12+2*1)+2(2+1-3)+f₁(2+1-3)= 14+0+72=86

Клетка (2;2): (12+2*2)+2(2+2-3)+f₁(2+2-3)= 16+2+68=86

Клетка (2;3): (12+2*3)+2(2+3-3)+f₁(2+3-3)= 18+4+66=88

Клетка (2;4): (12+2*4)+2(2+4-3)+f₁(2+4-3)= 20+6+58=84

Клетка (3;0): (12+2*0)+2(3+0-3)+f₁(3+0-3)= 0+0+72=72

Клетка (3;1): (12+2*1)+2(3+1-3)+f₁(3+1-3)= 14+2+68=84

Клетка (3;2): (12+2*2)+2(3+2-3)+f₁(3+2-3)= 16+4+66=86

Клетка (3;3): (12+2*3)+2(3+3-3)+f₁(3+3-3)= 18+6+58=82

Для n=6 формула заполнения таблицы следующая:

D₁=D_января=2.

Так как спрос у нас в данном случае равен 2-м, то в некоторых клетках объём выпуска не может обеспечить такой спрос, следовательно, запрещённые клетки теперь другие.

12+2x+2(i+x-2)+f₅+x-2)

Таблица 6

xi	0	1	2	3	4	5	x6(i)	f6(i)
0	*	*	106	106	108	100	5	100
1	*	104	104	106	98	*	4	98
2	90	102	104	96	*	*	0	90
3	88	102	94	*	*	*	0	88

Клетка (0;2): (12+2*2)+2(0+2-2)+f₁(0+2-2)= 16+0+90=106

Клетка (0;3): (12+2*3)+2(0+3-2)+f₁(0+3-2)= 18+2+86=106

Клетка (0;4): (12+2*4)+2(0+4-2)+f₁(0+4-2)= 20+4+84=108

Клетка (0;5): (12+2*5)+2(0+5-2)+f₁(0+5-2)= 22+6+72=100

Клетка (1;1): (12+2*1)+2(1+1-2)+f₁(1+1-2)= 14+0+90=104

Клетка (1;2): (12+2*2)+2(1+2-2)+f₁(1+2-2)= 16+2+86=104

Клетка (1;3): (12+2*3)+2(1+3-2)+f₁(1+3-2)= 18+4+84=106

Клетка (1;4): (12+2*4)+2(1+4-2)+f₁(1+4-2)= 20+6+72=98

Клетка (2;0): (12+2*0)+2(2+0-2)+f₁(2+0-2)= 0+0+90=90

Клетка (2;1): (12+2*1)+2(2+1-2)+f₁(2+1-2)= 14+2+86=102

Клетка (2;2): (12+2*2)+2(2+2-2)+f₁(2+2-2)= 16+4+84=104

Клетка (2;3): (12+2*3)+2(2+3-2)+f₁(2+3-2)= 18+6+72=96

Клетка (3;0): (12+2*0)+2(3+0-2)+f₁(3+0-2)= 0+2+86=88

Клетка (3;1): (12+2*1)+2(3+1-2)+f₁(3+1-2)= 14+4+84=102

Клетка (3;2): (12+2*2)+2(3+2-2)+f₁(3+2-2)= 16+6+72=94

Для получения оптимальной программы составим сводную таблицу выпуска.

Таблица 7

Начал. запас	n=1		n=2		n=3		n=4		n=5		n=6
	x1(i)	f1(i)	x2(i)	f2(i)	x3(i)	f3(i)	x4(i)	f4(i)	x5(i)	f5(i)	x6(i)	f6(i)
0	4	22	3	40	3	58	4	72	3,4	90	5	100
1	3	20	2	38	5	50	5	68	5	86	4	98
2	2	18	1	36	4	48	4	66	4	84	0	90
3	1	16	0	22	0	40	0	58	0	72	0	88

Найдем оптимальную программу выпуска продукции.

Пусть запас на начало всего планового периода будет равен 0, тогда получим таблицу…

Оптимальная программа выпуска

Таблица 8

Число шагов до конца планового периода	Запас на начало месяца	Месяц	Оптимальный выпуск	Запас на конец месяца
n=6	0	Январь	x6(0)=5	(0+5-2)=3
n=5	3	Февраль	x5(3)=0	(3+0–3)=0
n=4	0	Март	x4(0)=4	(0+4–3)=1
n=3	1	Апрель	x3(1)=5	(1+5–3)=3
n=2	3	Май	x2(3)=0	(3+0–3)=0
n=1	0	Июнь	x1(0)=4	(0+4–3)=1

Таким образом, оптимальная календарная программа выпуска продукции: 5 0 4 5 0 4, оптимальные затраты на реализацию этой шестимесячной программы f₆(0)=100 д.е.