§5 Проводники в электрическом поле.

1. Проводники и диэлектрики. В 1729 году англичанин Стефан Герц в серии опытов установил, что все тела по их отношению к электрическим зарядам делятся на две группы – проводники и изоляторы.

В объеме проводника заряд может свободно перемещаться, в изоляторе – нет. Позднее было установлено, что электрическое поле не проникает внутрь металлических проводников, но проникает, хотя и ослабляясь, внутрь изоляторов. По этому по предложению М. Фарадея в учении об электрическом поле изоляторы стали называть диэлектриками – то есть телами, прозрачными для электрических линий (греческая приставка dia означает сквозь, через). Термин «изолятор» стал больше применятся в учении об электрических токах.

Различают проводники – металлы, проводники – электролиты, проводники газы. Но в феноменологической теории электричества независимо от физической структуры проводники принимаются как физические тела, в объеме которых могут перемещаться под действием электрического поля как положительные, так и отрицательные заряды.

При изменении электрического поля заряды в проводнике перемещаются. Чем подвижнее заряды, тем меньше они отстают во времени от изменений электрического поля, тем совершеннее проводник. Ближе всего к модели идеального проводника подходят металлы. Их электроны проводимости в макроявлениях практически безинерционны и перераспределяются почти одновременно с изменениями электрических полей.

Заметим, что причиной изменения электрических полей предполагается в электростатике перемещение заряженных тел в пространстве.

2 . Эквипотенциальность объема проводника. При внесении проводника в электрическое поле Е₀ возникает перераспределение подвижных зарядов внутри проводника, поскольку на заряды действует электрическая сила. Перераспределение зарядов приводит к появлению внутреннего электрического поля Е_внутр и прекращается тогда, когда . Поле внутри проводника исчезает.

Так как , то отсюда следует, . Проводник в поле любой формы и напряженности имеет одинаковый по всему объему потенциал. Говорят, объем проводника эквипотенциален.

На рис.25 показаны линии Е поля положительного точечного заряда q, вблизи которого находится проводящий нейтральный шар.

Под действием внешнего поля точечного заряда q заряды в шаре перераспределяются. На ближней с заряду q поверхности наводятся (говорят – индуцируются) отрицательные заряды, на дальней положительные. Поле этих наведенных зарядов не только полностью компенсирует внешнее поле внутри шара, но и деформирует его в пространстве вне шара. (Сравните с полем уединенно точечного заряда на рис.6-б).

Утверждение, что электрическое поле не проникает внутрь проводника, имеет тот смысл, что оно полностью компенсируется внутренним полем наведенных зарядов на поверхности проводника.

3. Проводники с полостью во внешнем поле. Эквипотенциальность всех точек объема проводника используется для создания электростатической защиты. Дело в том, что не имеет значения, заполняет ли вещество проводника все внутреннее пространство, или же оно имеет вид тонкой проводящей оболочки, охватывающей внутреннюю полость. М. Фарадей опытами доказал, что эта оболочка может быть даже не сплошной, а в виде сетки с достаточно мелкой ячеей. Чтобы защитить чувствительные электрические приборы от возмущающего действия электрических полей, их заключают в замкнутые металлические емкости – экраны. С целью предупреждения накапливания на экранах статического электричества их обычно заземляют.

4 . Электрический заряд в полости проводника. Незаземленный проводник экранирует только внешнее электрическое поле. Если электрический заряд поместить внутрь замкнутой полости нейтрального проводника, то поле существует в этом случае как во внутренней полости проводника, так и снаружи полводника. Экранирования нет.

Однако проводник, охватывающий заряд, влияет, тем не менее, как на внутреннее, так и на внешнее поле. На рис.26-а незаземленный проводник имеет форму сферы, а положительный точечный электрический заряд q находится в его геометрическом центре. Поверхности проводника, являющиеся эквипотенциальными, совпадают с эквипотенциальными поверхностями поля точечного заряда. Поэтому в этом частном случае деформации поля проводником нет. Распределенные по поверхности сферы индуцированные заряды имеют центральную симметрию.

На рис.26-б заряд q смещён из центра полости незаземленной сферы. Поле внутри полости деформировано, его линии искривлены, поскольку каждая линия должна входить в проводник под прямым углом к его поверхности. На внутренней поверхности сферы индуцированные заряды расположены не симметрично. На ближней к заряду стенке они гуще, на дальней реже.

Однако на внешнем поле перемещение заряда q внутри полости никак не сказалось. Поскольку поля внутри полводника нет, то положительные заряды располагаются по внешней поверхности сферы симметрично. Формально они никак не связаны с отрицательными зарядами на внутренней поверхности и по этому создают центрально – симметричное внешнее поде. Если сферу заземлить, то потенциал ее сравняется с потенциалом земли и будет равен нулю. Поле вне сферы исчезает. Формально это можно объяснить тем, что положительный заряд с поверхности сферы уходит в землю.

Однако на внутреннем поле уход положительного заряда с внешней поверхности никак не скажется. Конфигурация и напряженность внутреннего поля останутся без изменения.

5. Распределение зарядов по поверхности проводника. В предыдущем пункте речь шла об индуцированных зарядах. Но оказывается, что если даже и зарядить проводник, то есть сообщить ему заряд одного знака, то и в этом случае поля внутри проводника нет, а весь сообщенный заряд распределен по поверхности полводника.

Это распределение зависит от формы проводника. Чем острее выступает поверхность проводника наружу, тем больше на ней плотность зарядов . Поскольку напряженность поля Е вблизи заряженной поверхности пропорциональна , то ясно, что чем острее выступает поверхность, тем больше возле нее напряженность электрического поля (рис.27).

В ысокая напряженность поля вблизи острий приводит в газовых средах к стеканию зарядов с острий и к ионизации газа. В результате могут возникать разные формы газового разряда. При большем внутреннем сопротивлении источника тока – коронный или искровой заряды, при низком сопротивлении – дуговой. Для предотвращения этого явления электроды высокого напряжения делают закругленными.

6. Метод электрических изображений. При расчетах электрических полей создаваемых точечным зарядом q и электропроводящим телом, в окрестности которого находится этот заряд, часто используют метод электрических изображений.

Суть его в том, что поверхность проводника, являющаяся эквипотенциальной и разделяющая физически разные среды, принимается как одна из эквипотенциальных поверхностей поля, формируемого данным реальным зарядом q и некоторым фиктивным зарядом q. Заряд q должен находится в такой точке пространства, чтобы поле системы зарядов q и q имело эквипотенциальную поверхность, совпадающую с поверхностью проводника. В этом случае поле в любой точке вне проводника находится как сумма полей двух точечных зарядов q и q, а задача сводится к отысканию величины и положения заряда q. Этот фиктивный заряд q, заменяющий всю совокупность индуцированных на проводнике зарядов, называется электрическим изображением заряда q.

В теории электрических изображений доказывается, что для любой системы индуцированных зарядов, наведенных точечным зарядом q на проводящей поверхности второго порядка, всегда существует такой фиктивный точечный заряд q, действие которого тождественно действию системы индуцированных зарядов.

Пример 5.1 Поле точечного заряда q возле проводящей бесконечной заземленной плоскости. Пусть на расстоянии а от плоскости находится точечный заряд q. Вычислим потенциал поля , напряженность Е, плотность индуцированных зарядов  и силу взаимодействия заряда q и плоскости.

Поскольку плоскость заземлена, ее потенциал равен нулю. Эквипотенциальная поверхность в виде бесконечной заземленной плоскости с  = 0 в поле двух точечных зарядов может быть в единственном случае, когда эти заряды равны по величине и противоположны по знаку, а поверхность расположена меду ними посредине. Отсюда одинаковый заряд q=  q, расстояние между зарядами q и qравно 2а.

а . Потенциал . Поле в полупространстве справа от проводящей плоскости (рис.28) найдется как поле диполя в вакууме. В примере 3.3 был вычислен потенциал поля диполя. Повторим рассуждения в полярных координатах, поместив начало полярной оси в точке О на плоскости. Тогда потенциал произвольной точки А равен сумме.

. (5.1)

Здесь r₁ и r₂ – отрезки, положительные числа. Они определяются через полярный радиус r и полярный угол . (5.2)

.

Подставляя координаты r и , можно вычислить потенциал поля в любой точке. Например при  =2 полагаем что  = 0. Потенциал поля равен нулю. Формулы (5.1) и (5.2) справедливы при 0  2 и 0  r  .

б. Напряженность E вычисляется по формуле . (Смотри пример 3.3). В полярных координатах , (5.3)

где и – единичные орты. Вычислив производные, получим:

. (5.4)

Здесь 2  2 и 0  r  +.

в. Плотность индуцированных зарядов на поверхности – найдем, выразив Е для точек поля вблизи поверхности. Так как на поверхности  =2, , то из формулы (5.4) получаем: . (5.5)

Линии Е входят в плоскость под прямым углом, поскольку орт на поверхности проводника нормален к ней и направлены в глубину проводника.

С другой стороны, поле вблизи поверхности можно представить как поле индуцированных зарядов с плотностью  на бесконечной поверхности. Но по сравнению с поверхностью создающей поле по обе стороны от себя (пример 4.3), индуцированные заряды и заряд q создают поле только с одной стороны – в вакууме. Поэтому при той же плотности  напряженность поля в вакууме удваивается. С учетом этого из формулы (4.18) получаем:

. (5.6)

Так как , то , и . (5.7)

г. Полярный индукционный заряд q_инд найдется интегрированием по поверхности. Так как , то (5.8)

д. Сила действия поверхности на заряд q равна силе взаимодействия точечных зарядов q и q и найдется из закона Кулона. . (5.9)

Знак «минус» означает, что заряд q независимо то его знака всегда притягивается к проводящей плоскости.

Пример 5.2 Поле точечного заряда вблизи проводящего заземленного шара. Пусть на расстоянии а от точечного заряда q находится центр проводящего шара радиуса R (рис.29).

Шар заземлен, поэтому потенциал всех точек, в том числе и точек поверхности равен нулю. Поскольку существует единственный фиктивный заряд q, расположенный в некоторой точке С на расстоянии b от центра шара, поле которого тождественно полю индуцированных зарядов, то задача сводится к определению величин q и b. Чтобы их найти, достаточно записать выражения для потенциала в точках B и D.

. (5.10)

Отсюда, – параметр системы. (5.11)

З ная заряды q, q и их положения в пространстве, можно вычислить потенциал и напряженность в любой точке поля вне шара. Индуцированный заряд на шаре равен фиктивному заряду q.

Сила притяжения точечного заряда q к шару найдется из закона Кулона.

. (5.12)

Пример 5.3 Поле точечного заряда вблизи проводящего изолированного шара с собственным зарядом. Пусть на расстоянии а от точечного заряда q находится центр проводящего изолированного шара, на котором имеется собственный заряд q₀.

Как в любом проводнике внутри шара поля нет. Вне шара поле создается тремя точечными зарядами: зарядом q, фиктивным зарядом q, величина и положение которого находится по формуле (5.11) и точечный заряд q₀, расположенном в геометрическом центре шара. Потенциал шара можно найти, вычислив потенциал любой точки поверхности в поле трех зарядов.

Пример 5.4 Поле точечного заряда в полости проводника. Пусть в сферической полости радиуса R на расстоянии от центра находится точечный заряд q (рис.30).

Фиктивный заряд q равен заряду q_инд, индуцированному на внутренней поверхности. Если в теле проводника окружить полость воображаемой сферой (штрихованная линия на рис.30), то поскольку внутри проводника поля нет, поток через эту поверхность равен нулю. Но это значит, что q+ q_инд = 0, и q_инд = q = q.

Для вычисления места положения фиктивного заряда достаточно приравнять потенциалы точек B и D поверхности проводника.

. (5.13)

Р азрешив относительно b, получим:

. (5.14)

Если реальный точечный заряд q приближать к стене, например к точке D, то с другой стороны к стене будет приближаться фиктивный заряд q. При касании заряда q со стеной произойдет касание заряда q и q и их взаимное гашение. Заряд в полости исчезнет.

Но на внешней поверхности проводника останется заряд  q_инд = q. Поэтому «исчезновение заряда» q в полости есть по сути переход его с внутренней поверхности проводника на внешнюю.

Касание заряженным телом внутренней поверхности проводника полностью переносит заряд с тела на проводник.