- •Часть 3. Электричество
- •Электричество Литература
- •§1. Введение
- •Глава 1. Электростатика §2. Законы электростатики
- •§3 Электрическое поле в вакууме. Напряженность и потенциал
- •§4 Электростатическая теория Гаусса
- •§5 Проводники в электрическом поле.
- •§6 Диэлектрики в электрическом поле
- •§7. Энергия электрического поля. Конденсаторы.
- •§8. Законы постоянного тока
- •§9. Ток в металлах.
- •§10. Ток в электролитах
- •§11. Ток в газах.
- •Глава 3. Магнитное поле §12. Магнитное взаимодействие электрических токов
- •§13. Вычисление магнитных полей
- •§ 14. Действие магнитного поля на токи и движущиеся заряды
- •§15. Эффекты, возникающие при движении заряженных частиц в магнитном поле
- •§16. Электромагнитная индукция
- •§17. Поле в магнетиках. Диамагнетизм
- •§18. Пара - и ферромагнетики
- •§19. Уравнения Максвелла
- •Глава 4. Электромагнитные колебания и волны §20. Переменный ток
- •§21. Электрические колебания в колебательном контуре. Колебательные системы.
- •§22. Электромагнитные волны
- •Глава 5. Электрические явления в атмосфере §23. Электричество атмосферы
- •Оглавление
§21. Электрические колебания в колебательном контуре. Колебательные системы.
1. Свободные затухающие колебания. Колебательным контуром называется цепь, содержащая ёмкость С и индуктивность L. Реальный контур всегда имеет некоторое активное (омическое) сопротивление R (рис.150).
Если зарядить конденсатор, а затем замкнуть ключ Кл, то конденсатор будет разряжаться через катушку L, в цепи контура пойдёт ток i = dqdt, где q – заряд на конденсаторе. Чтобы определить зависимость тока от времени (или заряда на обкладках конденсатора), полагаем цепь квазистационарной и составим 2-е правило Кирхгофа для контура: iR = UC + E. Здесь UC = qC – напряжение на обкладках конденсатора, E ЭДС индукция в катушке. При обходе по часовой стрелке на рис.150 получаем:
, или . (21.1)
Знак “минус” перед напряжением на конденсаторе qC ставится потому, что ход потенциала на конденсаторе при обходе по контуру противоположен ходу потенциала на резисторе. Обозначив RL = 2, 1CL = , а в производных перейдя к точкам, получаем: . (21.2)
Это дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Вид его решения зависит от соотношения между коэффициентами n и 0. Если 0 > 2n, колебания периодические затухающие, если 0 < 2n, то колебания апериодические.
а . Периодические затухающие колебания. Будем полагать, что затухание очень слабое, так что 0 >> 2n. Уравнение (21.2) такое же, как уравнение затухающих колебаний материальной точки. Его подробное решение см.[2], §124, с.с.553-556. Опустив выкладки, запишем приближённое решение уравнения 21.2 для заряда, тока и напряжения.
q = q0e-ntcost, (21.3)
i = q0 e-ntcos(t + /2), (21.4)
. Здесь . (21.5)
Графики q(t), i(t) и uC(t) показаны на рис.151. При малых затуханиях период колебаний в контуре определяется формулой Томсона, . (21.6)
Декремент затухания . (21.7)
Логарифмический декремент затухания . (21.8)
Величина волновое сопротивление контура, добротность. (21.9)
У колебательных контуров среднего качества Q 20 100.
В идеальном контуре, в котором отсутствует затухание, R = 0, колебания должны продолжаться бесконечно долго. При этом максимальная энергия конденсатора , а максимальная энергия поля катушки составляет . Когда конденсатор максимально заряжен, i = 0, , вся энергия колебаний заключена в электрическом поле. Когда конденсатор разряжен, u = 0, а ток максимален. Вся энергия контура заключена в магнитном поле катушки. Средние и максимальные энергии электрического и магнитного полей одинаковы, . Однако колебания в любом реальном контуре даже из сверхпроводящих материалов обязательно затухают. Это происходит потому, что контур с переменным током излучает электромагнитные волны, которые уносят запасённую в нём энергию. В дифференциальном уравнении эти потери не учтены.
б . Апериодические колебания происходят при n > 0. Если n >> 0 и в цепи контура нет внешних ЭДС, то колебания представляют собой простой разряд конденсатора на выскоомный резистор. Заряд, напряжение на конденсаторе и ток изменяются в этом случае по экспоненциальному закону (рис.152):
(21.10)
Здесь . Из равенства n = 0 находим критическое сопротивление контура, разделяющее периодические колебания от апериодических. n = 0, , . (21.11)
Если сопротивление резистора R больше удвоенного волнового сопротивления периодические колебания в контуре не возникают.
2 . Вынужденные колебания возникают тогда, когда в контуре действует внешняя переменная ЭДС (рис.153). В отличие от подобного случая в цепи переменного тока, рассмотренного в §20, п.7, здесь полагаем, что диапазон частот, генерируемых внешним источником, много шире, а внутреннее сопротивление источника внешней ЭДС много больше.
Если в контуре действует периодическая ЭДС E =Eacost, то уравнение колебаний электрического заряда на обкладках конденсатора принимает вид: . (21.12)
Здесь те же обозначения: 2n = RL, .
Решение этого уравнения состоит из двух членов и при n << 0 имеет вид: q = q0entcost + Bcos(t ). (21.13)
Первый член описывает собственные затухающие колебания в контуре, рассмотренные в предыдущем пункте. Спустя некоторое время (не более нескольких секунд). Эти колебания практически исчезают. Остаётся лишь вторая часть, описывающие вынужденные колебания q = Bcos(t ). (21.14)
Здесь B – амплитуда вынужденных колебаний, - угол сдвига по фазе по отношению к собственным колебаниям. , . (21.15)
Дифференцируя (21.14) по времени, получаем ток в контуре.
i = = Bsin(t ) = Bcos(t + 2). (21.16)
Величина В = ia есть амплитудный ток. Он зависит от соотношения частот 0 и . Если частота изменения внешней ЭДС приближается к частоте 0 собственных затухающих колебаний, то ток в контуре возрастает до некоторого максимального значения, называемого резонансным. . (21.17)
Р ассмотренная ситуация соответствует резонансу напряжений в цепи переменного тока, а формула амплитудного тока (21.17) в общем виде соответствует закону Ома для цепи переменного тока. Так как , n = R / 2L, то
. (21.18)
На рис.154 показаны амплитудные резонансные кривые – графики зависимости амплитудного тока ia от частоты внешней ЭДС. Чем больше добротность контура Q = R, тем уже его резонансная кривая, тем выше его избирательность (селективность). Поэтому с увеличением добротности Q ширина вынуждающих частот ( 0), при которых в контуре раскачиваются значительные токи, становится уже. Этот интервал частот, близких к 0, называется полосой пропускания контура. Сюда входят частоты от 1 до 2, где 1 и 2 – частоты, при которых энергия колебания в 2 раза меньше энергии колебаний в резонансе. Можно показать, что = 2n.
Действительно, энергия амплитудного тока в резонансе
. (21.19)
Если при некоторой частоте , энергия амплитудного тока в 2 раза меньше, то есть
, (21.20)
то отсюда найдётся 1. Чтобы равенство (21.20) выполнялось, должно быть
, или . (21.21)
Решение этого квадратного уравнения: . (21.22)
По условию, принятому вначале, затухание очень слабое, (R2L)2 << (1LC). Поэтому первым слагаемым под корнем можно пренебречь. 1 = n 0. (21.23)
Значение 1 = n 0 < 0 и не имеет физического смысла. Остаётся 1 = 0 n. (21.24)
Полуширина полосы пропускания , (21.25)
а ширина полосы пропускания в 2 раза больше . (21.26)
3. Искровой колебательный контур. Реализовать гармоническую ЭДС частотой в тысячи и миллионы герц путём вращения рамки в магнитном поле практически невозможно. Поэтому для возбуждения в колебательном контуре незатухающих колебаний высокой частоты используются другие способы.
И сторически первым шагом в этом направлении следует рассматривать искровой колебательный контур, которой изобрёл в 1888 г. немецкий физик Генрих Герц (рис.155).
П осле включения источника постоянного напряжения конденсатор через дроссельные катушки заряжается, и напряжение между его обкладками увеличивается. Когда оно достигает значения напряжения пробоя, через разрядник проскакивает искра, замыкающая колебательный контур, и в контуре возникает цуг затухающих колебаний. Он обрывается, когда напряжение на искровом разряднике упадёт до напряжения гашения искры. Затем конденсатор снова заряжается, и всё повторяется в той же последовательности (рис.156).
Колебания, получаемые Герцем, имели частоту порядка 5108 Гц, что соответствует длине излучаемых его вибратором электромагнитных волн 60 см.
В 1891 г. серб Никола Тесла изобрёл высокочастотный трансформатор, т.н. трансформатор Тесла, позволяющий получать колебания с частотой до 105 Гц напряжением до 7106 В. В качестве первичного контура в трансформаторе Тесла используется искровой генератор высокочастотных колебаний. В начале развития радиотехники трансформатор Тесла применялся на радиостанциях в качестве источника ВЧ колебаний, в настоящее время – в учебной практике в демонстрационных экспериментах.
Искровой колебательный контур представляет собой автоколебательную систему. Один из главных недостатков его в том, что энергия вводится слишком редко, раз в течение одного цуга, точнее – между цугами. Поэтому трудно обеспечить стабильность амплитуды ВЧ колебаний.
Наибольшее распространение получили автоколебательные генераторы незатухающих колебаний на основе ламповых триодов и, позднее, полупроводниковых транзисторов.
4 . Генератор ВЧ колебаний на ламповом триоде. В 1907 г. американец Ли де Форест изобретает важнейший радиотехнический элемент первой половины XX века – электронную лампу с тремя электродами – триод. Анод и катод в триоде разделены между собой третьим электродом – сеткой.
На рис.157 показана схема простейшего лампового генератора на триоде, позволяющего получать незатухающие ВЧ колебания.
Вследствие тепловых флуктуаций электронов контуре C–L1 самопроизвольно возникают слабые колебания. Но изменение напряжения на обкладках конденсатора С вызывает изменение потенциала сетки S триода. При положительном потенциале верхней (по рисунку) пластины конденсатора триод открывается, в анодной цепи течёт ток, который через индуктивную связь между катушками L1 и L2 усиливает ток в контуре.
Когда конденсатор перезарядится в обратном направлении, лампа заперта, через катушку L2 тока нет. Затем весь процесс повторяется. Таким образом, ток в анодной цепи течёт лишь в те моменты времени, когда лампа открыта, и когда магнитное поле катушки L2 подпитывает ток в контуре.
Управление электронной лампой с помощью цепи обратной связи может осуществляться разными способами. Наряду с рассмотренной индуктивной связью часто применяется также ёмкостная и автотрансформаторная обратная связь.
5 . Генератор на транзисторе типа р – n – p c индуктивной обратной связью (рис.158). При отсутствии колебаний ток эмиттера очень мал, а напряжение на эмиттерном p – n переходе близко к нулю, поскольку почти всё падение напряжения приходится на обратный n – p переход. Если в колебательном контуре возникли флуктуационные колебания, то в катушке LБ индуцируется периодическая ЭДС, которая создаёт пульсирующий ток в цепи эмиттер – база. Это приводит к увеличению коллекторного тока, который, проходя по катушке L, увеличивает амплитуду колебаний тока в контуре.
Когда конденсатор С разряжается в обратном направлении, ЭДС в катушке LБ запирает эмиттерный ток, что приводит к уменьшению коллекторного тока. Поэтому обратная перезарядка конденсатора происходит беспрепятственно при минимальном токе коллектора.
Модификаций схем генераторов на транзисторах очень много.
6. Токи высокой частоты, ТВЧ. С помощью генераторов электрических колебаний можно вырабатывать почти синусоидальные переменные токи частотой в тысячи и миллионы герц. Благодаря вытеснению быстропеременных токов к периферии проводника вследствие скин-эффекта (см. след. параграф), оказывается возможным с помощью ТВЧ закаливать поверхность стальных деталей, не уменьшая их пластичности в глубине. Использование токов частотой в сотни и тысячи герц эффективно при индукционном нагреве металлов в плавильных индукционных электропечах, поскольку вихревые токи Фуки увеличиваются с ростом частоты электромагнитного поля.
Т ВЧ широко используются при высокочастотной сварке и в многоканальной телефонной связи.
7. Релаксационный генератор. Наряду с генераторами почти синусоидальных колебаний, рассмотренными выше, в практике широко используются устройства, создающие периодические, но далеко не гармонические колебания, напр., пилообразные, П – образные и др. Рассмотрим генератор пилообразных колебаний на неоновой лампе (рис.159).
К онденсатор С, параллельно которому присоединена неоновая лампа НЛ, через резистор R с большим сопротивлением заряжается от источника постоянного тока ИТ, в результате напряжение на обкладках повышается. Когда напряжение на конденсаторе С достигает напряжения зажигания Uз, в лампе возникает газовый разряд, и конденсатор начинает быстро разряжаться. Когда напряжение на конденсаторе подает до напряжения гашения в лампе Uг, разряд в лампе обрывается, и конденсатор вновь начинает заряжаться. Возникают так называемые релаксационные колебания (рис.160).
Найдём период колебаний. В процессе заряда конденсатора 2-е правило Кирхгофа имеет вид iR + u = E, или . (21.27)
Здесь u – напряжение на конденсаторе, E ЭДС источника тока. Перейдём к переменной u. Так как q = Cu, то , и . (21.28)
Если обозначить u E = U, то и получаем уравнение с разделяющимися переменными: . Отсюда , . (21.29, 30)
Постоянную интегрирования U0 найдём из начального условия: напряжение на конденсаторе в начале заряда равно нулю, u = 0. Тогда U0 = U E (t = 0) = 0 E = E, U = E exp(tCR). Вернувшись к прежней переменной, получаем:
u = U +E = E (1 – exp(tCR)). (21.31)
Если пренебречь временем разряда конденсатора по сравнению с его временем заряда, то период колебаний можно найти как время заряда конденсатора от uГ до uЗ. Пусть заряда до напряжения uГ достигается к моменту времени t1, а заряд напряжения uЗ – к моменту времени t2. Так как uГ = E (1 – exp(t1CR)), uЗ= E (1 – exp(t2CR), то выразив из этих уравнений моменты t1 и t2 и найдя их разность, получаем период релаксационных колебаний. . (21.32)