- •4. Геометричний закон розподілу ймовірностей
- •5. Рівномірний закон розподілу ймовірностей
- •Основні закони неперервних випадкових величин
- •1. Нормальний закон розподілу
- •Числові характеристики
- •10.1. Розподіл 2 (хі-квадрат)
- •Числові характеристики
- •11. Рівномірний закон розподілу
- •11.1. Числові характеристики
- •Різниця
4. Геометричний закон розподілу ймовірностей
Інколи спроби здійснюють до першої появи випадкової події. Число проведених спроб буде цілочисловою випадковою величиною. Цілочислова випадкова величина Х має геометричний закон розподілу, якщо ймовірності її можливих значень
, k = 1, 2, 3, …, n. (243)
Тут p — імовірність появи випадкової події в кожній спробі — є величиною сталою, q = 1 – p.
У табличній формі геометричний закон розподілу такий:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
... |
|
|
|
|
|
... |
При перевірці умови нормування використовується формула суми нескінченної геометричної прогресії, тому й закон розподілу називають геометричним:
. ; .
Серед дискретних випадкових величин лише геометричному закону притаманна властивість відсутності післядії. Це означає, що ймовірність появи випадкової події в k-му експерименті не залежить від того, скільки їх з’явилося до k-го, і завжди дорівнює p.
5. Рівномірний закон розподілу ймовірностей
Цілочислова випадкова величина Х має рівномірний закон розподілу, якщо ймовірності її можливих значень обчислюються за формулою:
. (248)
У табличній формі запису рівномірний закон розподілу має вигляд:
|
1 |
2 |
3 |
... |
n |
|
|
|
|
|
|
Умова нормування виконується.
Числові характеристики рівномірного закону:
.
Гіпергеометричний закон розподілу ймовірностей
Цілочислова випадкова величина Х має гіпергеометричний закон розподілу, якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою
. (253)
Гіпергеометричний закон розподілу ймовірностей відбувається за таких обставин: нехай задано деяку множину однотипних елементів, число яких дорівнює n; з них елементів мають, наприклад, ознаку А (колір, стандартність), а решта елементів — ознаку В; коли із цієї множини навмання беруть m елементів, число елементів k з ознакою А (або В), що трапляється серед m навмання взятих елементів, буде цілочисловою випадковою величиною з гіпергеометричним законом розподілу.
У табличній формі запису цей закон розподілу подається так:
|
0 |
1 |
2 |
... |
m |
|
|
|
|
|
|
При цьому m n.
Умова нормування .
Залежно від умови задачі найменше значення може становити m = 0, 1, 2, 3, ..., m – 1.
Числові характеристики цього закону обчислюються за наведеними далі формулами:
. . .
Основні закони неперервних випадкових величин
1. Нормальний закон розподілу
Випадкова величина Х має нормальний закон розподілу ймовірностей, якщо
f (х) = , – < x < ,
де а = М (X), = (X). Отже, нормальний закон визначається звідси параметрами а і і називається загальним.
Тоді
F(x)= dx.
Якщо а = 0 і = 1, то нормальний закон називають нормованим.
У цьому разі f (x)= – < x < ,
тобто f (x) = (x) є функцією Гаусса,F(x) = dx.
Графіки f (x), F(x) для загального нормального закону залежно від параметрів а і зображені на рис. 91 і 92.
Рис. 91 Рис. 92
Із рис. 91 бачимо, що графік f (x) розміщений симетрично відносно умовно проведеного перпендикуляра в точку Х = а. Зі зміною значень параметра а крива f (x) зміщується праворуч, якщо а > 0 або ліворуч, якщо a < 0, не змінюючи при цьому своєї форми; f (a) = max, отже, Мо = а.
Із рис. 92 бачимо, що графік F(x) є неспадною функцією, оскільки f (x) = F(x) > 0 і, як буде доведено далі, F(a) = 0,5.
Отже, Ме = а.
Зі зміною значень параметра а крива F(x) зміщується праворуч для а > 0 або ліворуч при а < 0, не змінюючи при цьому форми кривої.
Отже, для нормального закону Мо = Ме = а.
Зі зміною значень при а = const змінюється крутизна кривих у околі значень X = а, що унаочнюють рис. 93 і 94.
Рис. 93 Рис. 94
Для нормованого нормального закону графіки функцій f (x), F (x) зображено на рис. 95 і 96.
Рис. 95 Рис. 96
Загальний нормальний закон позначають: N (a; ). Так, наприклад, N (–2; 4) — загальний нормальний закон із значенням параметрів а = –2, = 4.
Нормований нормальний закон позначають N (0; 1).
P( ) = . .
Для N (0, 1):
1.3. Правило трьох сигм для нормального закону
Коли , то маємо:
.
Практично ця подія при одному експерименті здійсниться, а тому її вважають практично вірогідною. Звідси:
Тобто ймовірність того, що внаслідок проведення експерименту випадкова величина Х, яка має закон розподілу N (a; ), не потрапить у проміжок , дорівнює 0,0027. Це становить 0,27%, тобто практично вважається, що ця подія внаслідок проведення одного експерименту не здійсниться.
Експоненціальний закон розподілу
Експоненціальним законом випадкової величини називають гамма-розподіл, в якому = 1.
Для цього закону розподілу
Графіки f (x), F(x) зображені на рис. 102 і 103.
Рис. 102 Рис. 103