МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Элементы интегрального исчисления функций одной переменной л.С. Маергойз

Красноярск

СФУ

2011

Аннотация

Данная книга написана на основе конспекта лекций по интегральному исчислению, прочитанных автором в Красноярской архитектурно-строитель-ной академии (КрасГАСА) и в Институте градостроительства, управления и региональной экономики Сибирского федерального университета (ИГУиРЭ СФУ). Она содержит элементарный курс интегрального исчисления функций одной переменной в объеме, соответствующем программе по высшей математике для студентов инженерных специальностей вузов. Характерной особенностью книги является изложение методики решения прикладных задач на суммирование бесконечно малых величин, иллюстрируемой на общедоступном для студентов указанного профиля материале курса школьной физики и геометрии.

Для студентов инженерных специальностей вузов, преподавателей высшей математики, а также для инженеров и научных работников.

Рецензенты:

Профессор кафедры теории функций Сибирского Федерального Университета, доктор ф.-м.н. Лейнартас Е.К.

Кафедра высшей математики-4 Сибирского Федерального Университета

От автора

Данная книга написана на основе конспекта лекций по интегральному исчислению, прочитанных автором в Красноярcкой архитектурно-строи-тельной академии (КрасГАСА) и в Институте градостроительства, управления и региональной экономики Сибирского федерального университета (ИГУиРЭ СФУ). Она содержит элементарный курс интегрального исчисления функций одной переменной в объеме, соответствующем программе по высшей математике для студентов инженерных специальностей вузов.

Цель данной книги – помочь студентам в овладении одной из важнейших тем математического анализа – “Интегралы и их приложения”.

Методы вычисления интегралов иллюстрируются на примерах. При этом автор не ставил своей целью уделить основное внимание изложению всех наиболее популярных методов их вычисления. Например, в книге отсутствуют способы нахождения интегралов от иррациональных функций, основанные на подстановках Эйлера и Чебышева. Главное, к чему стремился автор, -- научить читателей решать прикладные задачи на суммирование бесконечно малых величин. Методика их решения иллюстрируется на общедоступном для студентов указанного профиля материале курса школьной физики и геометрии.

В книге приведены доказательства фундаментальных фактов интегрального исчисления – теоремы о структуре первообразных, формулы Ньютона-Лейбница. Доказательство стандартных свойств интегралов предоставлено читателю. Как правило, они следуют из определений. Исключение составляет упоминаемый факт существования интеграла Римана для непрерывных функций. Его доказательство можно найти в известных учебниках по теории интегралов Римана и Лебега.

Приведено строгое доказательство формулы площади криволинейной трапеции, опирающееся на формулу Ньютона-Лейбница. Оно служит иллюстрацией одного из методов решения прикладных задач на суммирование бесконечно малых величин. В книге, следуя изложенной методике, даются схематичные решения физических задач на нескольких примерах. В конце книги приведены варианты расчетных заданий, позволяющих читателям проверить степень овладения излагаемым материалом.

Автор благодарен профессору Е.К. Лейнартасу за полезные замечания, кото-

рые были учтены при работе над рукописью книги. Автор искренне призна-

телен выпускнику СФУ И.В. Семейщеву, а также доцентам М.Н. Завьялову

и И.А. Ефремову за участие в создании электронного варианта книги.

Введение

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала функции . В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции требуется найти такую функцию что или Функция называется первообразной функции . Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести тел и т. д. Метод вычисления площадей восходит к Архимеду. Он основан на так называемом методе суммирования бесконечно малых величин.

Проиллюстрируем его сущность на примере нахождения площади криволинейного треугольника T, ограниченного графиком параболы y = x², отрезком [0, 1] оси абсцисс и вертикальной прямой x = 1. Зафиксируем натуральное число n > 1 и разобьем T на n криволинейных трапеций T₁, …, T_n с помощью вертикальных прямых x = k/n, k = 1, …, n-1. При достаточно большом n площади этих трапеций мало отличаются соответственно от площадей прямоугольников П₁ , …, П_n, высота которых определяется ординатами точек (k/n, k²/n²), k = 1, …, n графика параболы. Их суммарную площадь S_n можно найти, опираясь на метод математической индукции:

S_n= n(n + 1)(2n + 1)/6n³.

Переходя к пределу при n, стремящемся к бесконечности, находим площадь криволинейного треугольника T: S =1/3 кв.ед.