Двухшаговый метод наименьших квадратов
Взаимозависимость в экономике и обществе - это широко распространенное явление: многие показатели взаимосвязаны. В этом случае классическая регрессионная модель, построенная по методу наименьших квадратов (1 МНК), оказывается смещенной, недостоверной и неустойчивой. При наличии между независимыми переменными мультиколлинеарности применяют двухшаговый метод наименьших квадратов (2 МНК).
Двухшаговый метод наименьших квадратов
является простым и широко распространенным
методом состоятельной оценки параметров
структурных коэффициентов взаимозависимой
системы, уравнения которой идентифицированы
и выполняют все предпосылки классической
регрессионной модели, кроме предпосылки
относительно независимости факторов.
Согласно предпосылкам модели 2 МНК-
оценщики для регрессионных коэффициентов
являются асимптотически нормально
распределенными, что делает возможным
применение
и
-
тестов , а также для доверительных и
прогнозных интервалов.
Суть 2 МНК состоит в следующем: очищают переменные от влияния возмущений на первом шаге и очищенное таким образом уравнение приближают к классической регрессионной модели и оценивают с помощью
1 МНК на втором шаге.
Принцип применения 2 МНК:
трансформирование соответствующих коррелированных независимых переменных обобщенной регрессионной модели таким образом, чтобы преобразованное уравнение по возможности лучше отвечало требованиям классической модели регрессии;
оценивание с помощью 1 МНК параметров этой вспомогательной модели.
1. Общее представление системы структурных уравнений
Представим регрессионное уравнение в
матричном виде:
.Здесь
через
и
обозначены матрицы:
-
-
мерный вектор, - матрица размера
на
,
-
-
мерный вектор.
Запишем систему нормальных уравнений в матричной форме
Или в развернутом виде
=
Для решения уравнения умножим обе го
части на
или
(2)
Для получения решения (2) системы
структурных уравнений (1) необходимо,
чтобы матрица коэффициентов
была невырожденной. Практически это
означает, что нормальные уравнения
должны содержать ровно столько независимых
уравнений, сколько параметров подлежит
оцениванию. Если же данные оказываются
зависимыми, то необходимо предпринять
дополнительные шаги, чтобы получить
оценки.
Пусть исследуется модель
(3)
Где матрица
определяет вектор ошибок модели. Введем
индекс
уравнения системы одновременных
структурных уравнений. Поскольку такое
уравнение всегда есть составная часть
системы уравнений, то введение индекса
правомерно. Тогда вместо уравнения (1)
получим
(4)
Пусть в уравнение входят коррелированные
переменные (индексом
нумеруются от 1 до
и некоррелированные переменные ( индексом
к нумеруются от 1 до
).
Если с учетом новой индексации уравнение
(4) записать для
наблюдений в матричной форме, то получим
соотношение
(5)
Здесь
-
вектор наблюдений над зависимой
переменной, подлежащей определенно с
помощью
-го
структурного уравнения;
-
матрица наблюдений над коррелированными
переменными, содержащимися, кроме того,
в
-ом
структурном уравнении,
-
вектор оценок параметров коррелированных
переменных, содержащихся в матрице
;
-матрица наблюдений над некоррелированными
независимыми переменными, которые
содержаться в
-ом
уравнении;
-
вектор оценок параметров этих переменных;
-
вектор остатков
-го
структурного уравнения для всех периодов
наблюдений.