Завдання

На основі абстрактних статистичних даних про залежність Х та У:

1. Оцінити параметри економетричної моделі парної лінійної регресії за допомогою МНК, використовуючи систему рівнянь і матричний оператор В;

2. Дати загальну характеристику адекватності моделі та її параметрів для рівня значущості α = 0,05:

• обчислити залишкову дисперсію σ_u² та стандартну похибку S;

• перевірити тісноту загального впливу незалежної змінної на залежну змінну, обчисливши коефіцієнт детермінації R² ;

• перевірити на значущість коефіцієнтів регресії за допомогою F- і t- статистик;

• перевірити на значущість вибіркового коефіцієнта кореляції за допомогою t – статистики;

• визначити і записати межі надійності для R;

• знайти надійні інтервали для регресії ;

• визначити інтервали довіри для параметрів регресії.

3. Розрахувати точковий та інтервальний прогноз прибутку фірми для заданого прогнозного значення інвестицій: Х_пр=7.

4. Розв’язання

Нехай задана таблиця статистичних експериментальних даних досліджуваної залежності :Уі , Хі, і = 1, n

За нашою умовою ми будемо мати наступні дані, які наведені у таблиці:

№	Уі	Хі
1	7,7	1
2	11,3	2
3	18,7	3
4	23,3	4
5	27,7	5
6	29,3	6

1. Для оцінки параметрів регресивної моделі використовуємо функцію в Excel «ЛИНЕЙН».

Ця функція має вигляд ЛИНЕЙН ( відомі значення значення у; відомі значення х; конст; статистика). Ця функція застосовує метод найменших квадратів.

«Відомі значення у» - множина значень у. «Відомі значення х» - множина значень х, що враховує або одну ( парна регресія), або кілька змінних (множинна регресія).

«Конст» - логічне значення. «Статистика» - логічне значення, яке вказує, чи потрібно обчислювати додаткову статистику за регресією. Якщо статистика має значення «ИСТИНА» або 1, то функція ЛИНЕЙН обчислює додаткову регресійну статистику у вигляді масиву.

Виділимо діапазон клітинок розміром 5×2 та у строчці формул отримаємо функцію «=ЛИНЕЙН(В2:В7,С2:С7,1,1)».

Тоді отримаємо:

Після введення функції натискаємо F2 а потім комбінацію клавіш Ctrl+Shift+Enter. У масиві розміром 5×2 отримаємо необхідну статистику за регресією.

4,62286	3,48667
0,39068	1,52148
0,97223	1,63433
140,01590	4,00000
373,98914	10,68419

Де перший рядок містить значення параметрів парного лінійного рівняння регресії,тобто:

Відповідна 4,62286– оцінка параметра b₁ ; 3,48667– оцінка параметра b₀.

В другому рядку міститься значення стандартних похибок оцінок відповідних параметрів парного лінійного рівняння регресії: для параметра b₀ він дорівнює 0,39068, а для параметра b₁ він дорівнює 1,52148.

В першій комірці третього рядка знаходиться значення коефіцієнта детермінації R², який дорівнює 0,97223; а друга комірка містить значення стандартної похибки залишків 1,63433.

В першій комірці четвертого рядка містить фактичне значення F-критерію, яке в нашому прикладі становить 140,01590; а друга комірка містить число ступенів свободи (n – m – 1), де n – кількість спостережень, m – кількість змінних у моделі: у нашому випадку n = 6, m = 1; це значення необхідне для визначення табличного значення F-критерію.

В першій комірці п'ятого рядка знаходиться величина суми квадратів відхилень значень результативної ознаки, обчислену за парним лінійним рівнянням регресії, від середнього її значення, обчисленого за фактичними значеннями Σ ( _і – Y )²= 373,98914, а друга комірка містить значення суми квадратів відхилень фактичних значень результативної ознаки від її значень, обчислених за рівнянням регресії Σ (Y_і - _і)² =10,68419.

Параметри регресії будуть такими:

b₁=4,62286;

b₀= 3,48667.

Таким чином вибіркова регресійна функція записується у такому вигляді:

=3,48667+ 4,62286 *х.

Побудуємо рівняння парної регресії використовуючи систему рівнянь. Побудуємо додаткову таблицю у вигляді:

Таблиця 1:

№	Уі	Хі	Хі2	Хі*Уі
1	7,7	1	1	7,7
2	11,3	2	4	22,6
3	18,7	3	9	56,1
4	23,3	4	16	93,2
5	27,7	5	25	138,5
6	29,3	6	36	175,8
Σ	118	21	91	493,9

Підставимо, отримані в таблиці значення в систему вигляду (1):

Отримаємо наступну систему:

6 b₀+21b₁=118

21b₀ + 91b₁=493,9

Використаємо метод Крамера для розвязку системи. Отримаємо:

∆ = = 546 – 441 = 105

∆_b0 = = 10738 – 10371.9 = 366,1

∆_b1= = 2963,4 – 2478 = 485,4

b₀ = 366,1/105 = 3,48667 b₁ = 485,4/105 = 4,62286

Рівняння парної регресії матиме вигляд:

= 3,48667 +4,62286*х

Також для визначення параметрів лінії регресії можна використати оператор вигляду (2) :

B= (X^T*X)^-1* X^TY (2)

З наведених даних (Таблиця 1) випливає, що матриця Х має вигляд:

Виконаємо подальші перетворення:

Х^T*X= Перевіримо чи існує матриця обернена до Х^T*X, для цього знайдемо її визначник:

∆ = = 0

Отже, можна зробити висновок, що обернена матриця існує знайдемо її :

(Х^T*X) ^-1=

Знайдемо матрицю Х^T*Y:

Х^T*Y = =

B = =

b₀ =3,4906 b₁=4,6017

Рівняння парної регресії при таких даних матиме вигляд:

= 3,4906 +4,6017*х

2 . Для обчислення інших параметрів регресії сформуємо додаткову талицю:

Y = 118÷6= 19,66667

№	Уі	Хі	Хі2	Хі*Уі		Уі -	(Уі - )2	Уі -	-	(Уі - )2			( - )2
1	7,7	1	1	7,7	8,10953	-0,40953	0,167715	-11,96667	-11,55714	143,20119			133,56748
2	11,3	2	4	22,6	12,73239	-1,43239	2,051741	-8,36667	-6,93428	70,00117			48,08424
3	18,7	3	9	56,1	17,35525	1,34475	1,808353	-0,96667	-2,31142	0,93445			5,34266
4	23,3	4	16	93,2	21,97811	1,32189	1,747393	3,63333	2,31144	13,20109			5,34275
5	27,7	5	25	138,5	26,60097	1,09903	1,207867	8,03333	6,93430	64,53439			48,08452
6	29,3	6	36	175,8	31,22383	-1,92383	3,701122	9,63333	11,55716	92,80105			133,56795
Σ	118	21	91	493,9	118,00008	-0,00008	10,68419	-0,00002	0,00006	384,67333			373,98961

Розрахуємо дисперсію залишків (залишкову дисперсію), враховуючи, що m=1 ( одна пояснювальна змінна), :

Визначимо стандартну похибку за формулою:

S = = =1.63433

Це значення у нас також міститься у таблиці статистики функції ЛИНЕЙН у другій комірці третього рядка.

Перевіримо тісноту загального впливу незалежної змінної на незалежну змінну, обчисливши коефіцієнт детермінації R² :

= 373,98961/384,67333 = 0,97223

Таке ж значення міститься і в таблиці статистики функції ЛИНЕЙН в першій комірці третього стовпчика.

Тоді коефіцієнт кореляції можна розрахувати так:

Оскільки коефіцієнт детермінації R² = 0,97223, це свідчить, що варіація залежної змінної У на 97,2% визначається варіацією незалежної змінної Х. Коефіцієнт кореляції 0,98602 характеризує тісний зв’язок між цими показниками. Величини R² і R для парної економетричної моделі свідчать про її достовірність, якщо вони наближаються до одиниці.

Перевіримо на значущість вибірковий коефіцієнт кореляції за допомогою t-статистики.

Кореляція – це систематичний і зумовлений зв'язок між двома видами явищ (факторів).