47

7 ТЕОРИЯ ПРОИЗВОДСТВА

7.1 Производственная функция и ее свойства

Процесс производства с экономической точки зрения иллюстрируется рисунком 7.1.

Error: Reference source not found

Рисунок 7.1 – Процесс производства в неоклассической теории

Для описания производственного процесса нужно описание зависимости между выходом (объемом выпускаемой продукции) и входами (объемами потребленных ресурсов – факторов производства). Такая зависимость называется производственной функцией:

Производственная функция показывает максимальный объем выпуска продукции в зависимости от количества потребленных ресурсов.

В большинстве случаев мы будем рассматривать двухфакторную производственную функцию

Свойства производственной функции в неоклассической теории во многом совпадают со свойствами функции полезности.

1.  монотонно неубывает по обоим аргументам:

2. Предельным продуктом труда называется увеличение выпуска продукции за счет увеличения трудовых ресурсов на одну единицу.

Тогда предельный продукт труда ( от англ. marginal product of labor) будет равен

Аналогично определяется предельный продукт капитала:

Принцип убывающего предельного продукта труда заключается в том, что при прочих равных условиях каждая дополнительная единица труда увеличивает выпуск продукции во все меньшей и меньшей степени:

Аналогично для капитала:

В совокупности свойства , - означают, что производственная функция является выпуклой (см. рис. 7.2).

Принцип убывающего предельного продукта труда показывает, что происходит с производством при увеличении одного ресурса при неизменном втором. Часто, однако, нас будет интересовать поведение производственной функции при синхронном изменении всех факторов производства. Свойства производственной функции в этом случае характеризуются эффектом масштаба.

Error: Reference source not found

K

Рисунок 7.2 – Общий вид производственной функции

Говорят, что производственная функция имеет:

а) постоянный эффект масштаба, если

б) положительный (или возрастающий) эффект масштаба, если

в) отрицательный (или убывающий) эффект масштаба, если

Наиболее типичным является случай постоянного эффекта масштаба. Он, по сути, заключается в том, что удвоение потребляемых ресурсов в точности удваивает объем выпускаемой продукции.

Графически производственная функция обычно изображается при помощи изоквант.

Изоквантой называется кривая, показывающая все возможные сочетания труда и капитала, позволяющие предприятию выпустить один и тот же объем продукции.

Уравнение изокванты, таким образом, имеет вид Изокванты производственной функции изображены на рис. 7.3.

Error: Reference source not found

Рисунок 7.3 – Изокванты

7.2 Оптимизация прибыли предприятия

Целью любого предприятия является получение максимальной прибыли.

Есть два способа формулировки задачи оптимизации прибыли предприятия:

1. Определить оптимальное количество ресурсов, которое предприятие должно потребить для получения максимальной прибыли.

Пусть p – цена продукции; w – цена труда (зароботная плата); r – цена капитала (процентная ставка).

Тогда задача максимизации прибыли может быть сформулирована как:

Однако в такой форме задача оптимизации не слишком интуитивна. Логичнее считать, что предприятие определяет в первую очередь объем выускаемой продукции, а исходя из этого находит требуемый объем потребляемых определим оптимальный объем выпуска продукции. Но тогда выбор правильного сочетания факторов производства становится самостоятельной задачей, требующей отдельного рассмотрения. При таком подходе задачу максимизации прибыли можно записать как

где функция называется функцией издержек производства и показывает минимальную стоимость производства продукции в требуемом объеме .

Функция издержек производства является тогда решением следующей оптимизационной задачи:

При рассмотрении задачи целесообразно разделить краткосрочный и долгосрочный интервал планирования.

На краткосрочном интервале планирования (КИП) один из ресурсов (обычно капитал) мы будем считать фиксированным, на долгосрочном (ДИП) – предприятие может свободно изменять объем потребления всех факторов производства.

7.3 Издержки производства на кип

Примем значение капитала фиксированным:

В двухфакторной модели при фиксированном капитале предприятие может изменить объем выпуска продукции, манипулируя всего одним фактором производства – трудом. Поэтому задача оптимизации как таковая не стоит; объем производства однозначно определяет потребность предприятия в трудовых ресурсах.

Из уравнения найдем потребность фирмы в трудовых ресурсах Тогда

Пример. Рассмотрим производственную функцию Кобба-Дугласа

График функции издержек производства показан на рис. 7.4.

Error: Reference source not found

C(Q)

Рисунок 7.4 – Издержки производства на КИП

Полные издержки производства удобно разбить на постоянные (FC, fixed cost) и перуменные (VC, variable cost):

Предельные издержки производства (marginal cost) показывают стоимость увеличения объема выпуска продукции на одну единицу (рис. 7.5).

Рисунок 7.5 – Предельные издержки производства

Из определения следует, что Error: Reference source not found

Из свойств производственной функции следует, что с ростом объема выпуска продукции предельные издержки возрастают.

Это обусловлено следующим. При одном и том же количестве капитала каждая дополнительная единица труда приносит все меньшую и меньшую отдачу в силу принципа убывающего предельного продукта труда. Следовательно, с ростом объема производства предприятию придется привлекать все больше и больше трудовых ресурсов для увеличения объема выпуска продукции на одну и ту же величину. В то же время цена единицы рабочей силы не зависит от ее эффективности. Поэтому предельные издержки предприятия на КИП возрастают с ростом объема выпуска.

Предельные издержки зависят только от переменных издержек производства:

т.е. постоянные издержки не влияют на уровень предельных издержек.

Введем также средние издержки производства AC (average cost):

В рассмотренном выше примере

Изобразим все эти переменные на графике (рис. 7.6).

Error: Reference source not found q Рисунок 7.6 – Средние и предельные издержки производства

Особый интерес на рис 7.6 представляет точка минимума средних издержек производства . Она называется эффективным масштабом производства, а соответствующее ей значение средних издержек – минимальной себестоимостью.

Справедливо следующее утверждение.

Кривая предельных издержек пересекает кривую средних издержек в точке минимума последней, т.е.

Доказательство:

По определению эффективного масштаба производства

Следовательно, в точке производная средних издержек производства должна равняться нулю:

Отсюда

■

7.4 Издержки производства на дип

На долгосрочном интервале планирования функция издержек производства является решением задачи

при ограничении

С математической точки зрения эта задача полностью аналогична задаче минимизации затрат потребителя, рассмотренной в разделе 3. Графическая интерпретация решения показана на рис. 7.7.

Error: Reference source not found l Рисунок 7.7 – Определение функции издержек производства на дип

Ограничение на графике изображается изоквантой. Для изображения целевой функции построим серию изокост – линий, показывающих все возможные сочетания труда и капитала, имеющих одинаковую стоимость.

Уравнение изокосты имеет вид:

Оптимальный объем факторов производства соответствует точке касания изокванты и изокосты.

Следовательно, наклон изокванты должен быть равен наклону изокосты = .

Чтобы заполнить многоточие в вышеприведенной формуле, воспользуемся формулой приращения объемов производства.

Вдоль изокванты следовательно

Таким образом, получаем:

или в эквимаржинальной форме

Формула интерпретируется следующим образом. Предположим, Тогда одна гривна, вложенная в труд, приносит предприятию большую отдачу, чем та же гривна, инвестированная в капитал. Предприятию следует прераспределить свой бюджет, увеличив ассигнования на труд и уменьшив – на капитал. В результате на предприятии станет больше труда и меньше капитала. Предельный продукт труда уменьшится, капитала – возрастет, а дисбаланс между двумя частями неравенства сократится. Процесс перераспределения бюджета между трудом и капиталом следует продолжать до тех пор, пока одна гривна, инвестированная в любой из факторов производства, не будет приносить одинаковую отдачу.

Для получения оптимального распределения ресурсов между трудом и капиталом (т.е. для определения спроса на факторы производства) условие следует дополнить ограничением –

Продолжим начатый выше

Пример. . Для КИП мы получили выше

¹

Теперь воспользуемся соотношением :

Подставим в производственную функцию:

Заметим, что на КИП предельные издержки возрастают с ростом объема выпуска продукции, а график средних издержек представляет собой U-образную кривую:

Однако на ДИП средние и предельные издержки не зависят от объема выпуска и равны между собой:

Это объясняется тем, что функция Кобба-Дугласа обладает постоянным эффектом масштаба. В самом деле,

Действительно, в случае постоянного масштаба производства увеличения объема производства в два раза потребует двухкратного увеличения потребления труда и капитала. Поэтому полные издержки производства также возрастут в два раза, а издержки в расчете на единицу продукции останутся неизменными. В случае положительного эффекта масштаба удвоение потребляемых ресурсов более чем удвоит объем выпуска продукции, следовательно себестоимость единицы продукции будет падать с ростом объема производства. Строгое доказательство этих утверждений оставляется читателю в качестве упражнения.

Задание для самостоятельной работы. Доказать, что:

• если производственная функция обладает постоянным эффектом масштаба, то предельные издержки на ДИП будут постоянными;

• если производственная функция обладает положительным эффектом масштаба, то предельные издержки на ДИП будут убывать с ростом объема выпуска;

• если производственная функция обладает отрицательным эффектом масштаба, то предельные издержки на ДИП будут возрастать с ростом объема выпуска.

Таким образом, характер средних издержек производства зависит от эффекта масштаба, присущего технологии производства.

При постоянном эффекте масштаба удвоение объема потребляемых ресурсов удваивает выпуск продукции вне зависимости от .

Изучим связь между краткосрочными и долгосрочными издержками производства на базе рассмотренного выше примера (рис. 7.8).

На рис. 7.8 изображены три функции издержек на КИП, соответствующие различным значениям капитала ( ). Заметим, что каждому возможному объему выпуска соответствует оптиальное значение капитала – то, которое соответствует минимальным полным издержкам. Таким образом, если бы предприятие было ограничено тремя возможными значениями капитала, его функция издержек на ДИП соответствовала бы нижней огибающей трех кривых краткосрочных издержек.

Рисунок 7.8 – Связь между краткосрочными и долгосрочными издержками

Если же предприятие вольно изменять масштаб капитала произвольным образом, мы и получим кривую долгосрочных издержек.

Аналитически, для заданного объема выпуска продукции мы можем найти оптимальное значение капитала исходя из функции краткосрочных издержек следующим образом:

Таким образом, функция долгосрочных издержек производства есть ни что иное, как одна из функций краткосрочных издержек производства, соответствующая объему капитала, оптимальному для данного объема выпуска продукции.

В заключение отметим, что для функции издержек производства на ДИП выполняется лемма Шепарда – производная от функции издержек производства по цене определенного фактора производства равна спросу на соответствующий фактор: