9.Арифметическая средина и ее свойства

Пусть произведено n равноточных измерений одной и той же величины, точное значение которой а неизвестно. В этом случае точность результатов измерений l1,l2,…lnоценивают по поправкам к ним. В теории погрешностей измерений требуется, чтобы характеристика точности «м» в квадрате была состоятельной и

Несмещенной оценкой дисперсии «а»в квадрате. Этим условиям удовлетворяет характеристика m=[Uв квадрате}\ (n-1). Значения м полученные по другим формулам будут различаться между собой. Но так как по вероятности (при н стремящемся к беск) они сходятся к Q, то при увеличении числа измерений они будут сближаться и между собой. Средняя квадратическая погрешность м, вычисляемая по формуле. Дает значение Q с некоторой погрешностью и является величиной случайной. Для оценки точности самой погрешности m существует приближенная формула: m=m\ под корнем 2/(n-1). Получив значение m по этой формуле, находят среднюю квадратическую погрешность среднего арифметического по формуле: M=m\под корнем n

Если подставить выражение для m из формулы одной в другую формулу то найдём выражение средней квадратической погрешности M через поправки

10Первое свойство арифметической единицы

Среднее арифметическое из результатов равноточных измерений одной и той же величины а обладает свойствами: 1)при большом числе измерений оно приближается по вероятности к точному значению измеренной величины а, т.е L вер -----(туда стрелка) а 2) математическое ожидание его равно точному значению измеренной величины, т.е L=a Эти свойства среднего арифметического, полученного по результатам измерений величины а, показывают, что оно яаляется состоятельной и несмещенной оценкой этой величины.

13)Вероятнейший равноточных изм-ий одной и той же величины, их свойства, если имеется ряд равноточных измерений одной и той же величины и из рез-ов измерений получено средне арифм значение, то вероятнейшей поправкой называют разность между средним арифметическим и результатом измерений. Свойство поправок исп-ся для контроля правильности вычисления. Если значение L получено с округлением величин частного L=L /n + w. Если известно средне-квадрат погрешность каких-либо величин, то по ним можно определить средне-квадратическую погрешность. Для дисперсии общего вида есть формулы. Практичекс дисперсии заменяют квадратами, среднеквадратич погрешностей, получ-х по большому числу рез-в измерений. Среднее квадратич погрешности одного из видов из арифметической середины определяемое по вероятнейшей поправки. Сигма- это дисперсии

14. Если каждая из величин данного ряда измерена дважды и все измерения равноточны (например, измерения превышений по черным и красным сторонам реек при геометрическом нивелировании), то среднюю квадратическую погрешность одного измерения можно определить по разностям, полученным для каждой пары этих измерений, следующим образом. Пусть имеется ряд двойных равноточных измерений l,lштрих (i=1,2…,n) Найдём разности d1=l-lштрих. Величины d, представляют измеренные значения разностей, при точных измерениях эти разности были бы равны нулю, т.е истинное значение каждое их них равно нулю. Поэтому на основании формулы: Дельта d=d-0=d, т.е погрешности дельта разностей равным самим разностям d Среднюю квадратическую погрешность одной разности вычислим по формуле: m=под корнем[дельта в кв}/n разность d – функция двух равноточных измерений.

Если бы в разностях не было случайных погрешностей, а была только одна систематическая, то все разности были бы равны 0, поэтому можно рассматривать полученные разности как результаты равноточных измерений одной и той же величины 0. Тогда приближенное её значение получают по формуле среднего арифметического 0=[в]\n

15. Если Результаты изм-ия получ не в одинаковых условиях и им соответств различная дисперсия, а следоват ср квадратич погрешность, то изм-ия наз неравноточными. При обработке неравноточных изм вводят новую хор наз весом измерения р=k\6в кв

16.Веса Функций измеренных величин

Если известны веса аргументов, то можно найти и вес самой функции. Для различных видов функций можно вывести формулы, по которым определяются веса этих функций. При К=1 Р=1/m(в кв) откуда m(в кв)1/р. Величину 1/р называют обратным весом. (стр377)

17.единица веса

При оценке точности и равноточн измерений, в качестве 1 принимают дисперсию сигма нулевую, вес которая равен 1. Так как значение среднего квадратич отклонения не известна, то практически его заменяют средне-квадратич погрешностью нью. Соответствующей измерению с весом равной единице, имея при этом в виду что нью получена по большому числу измерений и ради кратности его называют ср квадр погр-ю единицей веса. Если дисперсия измерена с весом С, равная М в кв, а дисперсия с единицей равна нью в кв, тогда по 2-му свойству весов получается 6 в кв = М в кв. Найдём выражение средне-квадратич погрешностью с дельта 1, дельта 2….n измерений l1,l2…n котором соответствует веса р1,р2..рн

18.Веса функций измеренных величин.Если известны веса аргументов функций то можно найти и веса самой фун-ии.для различных видов фун-й можно вывести формулы по которым опред-я веса этих функций.при k=1 р=1/м в кв.=м в кв. = 1/р где ед. на р наз. обратным весом.расмотрим различные виды фун. и получ. для них формулы весов.

фун. общ. вида

1.u=f(x1,x2,xn)

m в кв. внизу m u = E на верху n внизу i=1(af/ax)m в кв. внизу i

1/р в ст. u= Е в ст. h внизу i=1(af/ax) в кв.*1/p в ст. i

2.u=E в ст. h внизу i=1 ki xi+c

3.u=kx+c

1/p в ст. u = E в ст. h внизу i=1 k в кв. внизу i 1/p в ст. х

1/p в ст. u = k в кв. 1/p в ст. х

4.u=E в ст. h внизу i=1(+_х в кв.)+с

р1=р2=р3=р(цифры в степенях внизу)

1/p в ст.u = n/p=>p в ст. u = p/h.

Среднее весовое обладает свойствами, подобными свойствами среднего арифметического(стр381)

19.При оценки точности равноточности измерений в качестве ед. времени дисперсии 0 в кв. внизу0 вес кот. = 0 зачеркнутая1.т.к. знач-е ср. квадратического отклонения неизвестно то практически его заменяют ср. квадратичес. погрешностью М.соот-й измерению с весом равным 1,имея при этом ввиду что М получено по большому числу измерений и ради кратности ее наз. изм. ср. квадратичес. погрешностью ед. (стр382)

20.Если имеется ряд неравноточных измерений l1,l2,…ln одной и той же величины, для которых известны веса р1, р2,…,рn то оценку точности можно произвести по поправкам. В математической статистике доказывается, что несмещенной и состоятельной оценкой Q(внизу ноль, в кв) является характеристика и(в кв)=[pu(в кв)] \ n-1. по этой формуле определяется средняя квадратическая погрешность единицы веса через поправки. Значение и, вычисляемое по формуле одной, но при неограниченном увеличении n они будут сближаться между собой (стр282)

21. При оценке точности неравноточных измерений в качестве единицы меры дисперсий принимают дисперсию Q( внизу0 в кв) измерения, вес которого равен единице. Так как значение среднего квадратического отклонения Q(внизу0) неизвестно, то практически его заменяют средней квадратической погрешностью и, соответствующей измерению с весом, равным единице, имея при этом в виду, что и получено по большому числу измерений, и ради краткости её называют средней квадратической погрешностью единицы веса. Если дисперсия измерения с весом р равна Q(в кв)=m(в кв), а дисперсия измерения с весом единица равна Q(внизу ноль в кв)=и (в кв), то по свойству весов р\l=b(в кв)\m(в кв)

22. Если в разностях нет систематических погрешностей, то средняя квадратичесая погрешность единицы веса может быть определена по формуле: и=под корнем[pd(в кв)] \ 2n . Оценка точности по разностям двойных измерений часто не дает полного представления о точности произведенных измерений. Так, например, при измерении линии одной и той же лентой дважды имеющаяся в результате измерений погрешность, из-за неточного определения длины ленты при её компарировании в разностях двойных измерений исключается.

То же самое будет с погрешностями в углах, если эти погрешности возникают из-за неточного центрирования теодолита, когда каждый угол измеряется дважды при одной и той же установке прибора.

Можно еще указать примеры, когда влияние некоторых источников погрешностей в разностях исключается в значительной степени: например, влияние температуры, рельефа местности при измерении линий, или влияние рефракции при измерении углов

С литературе отмечены случаи, когда средние квадратические погрешности измерений линий, полученные по разностям двойных измерений, оказались в три- четыре раза меньшими по сравнению с действительными

23.Если измерения должны удовлетворять какому-либо геометрическому условию (например сумма внутренних углов треугольника должна быть равна 180), то точность измерений можно определить по невязкам, получающимся в результате погрешностей измерений. Для примера определения точности измерений по невязкам решаются задачи. В результате измерений углов в N полигонах (или ходах) с числом углов n1,n2,… поучены невязки f1,f2 . Определить среднюю квадратическую погрешность измерения одного угла.

Полученные невязки являются погрешностями сумм углов в каждом полигоне (ходе), поэтому для оценки точности измерений можно воспользоваться формулой: и=под корнем [pдельта(в кв)]\n

24,25,26 Буссольная съёмка — технологический процесс наземной топографической съёмки, в котором первичную метрическую информацию о местности получают при помощи буссоли и мер длины или дальномеров.

Эккерные и буссольные съёмки применяют для получения планов небольших участков местности и сравнительно невысокой точности.

Маршрутные глазомерные съемки рассматриваются на примере буссольно-глазомерной съемки с измерением расстоянии по времени движения.

Буссо́ль (франц. boussole)

геодезический инструмент для измерений горизонтальных углов между магнитным меридианом и направлением на какой-либо предмет. Основные части Б. — вращающаяся магнитная стрелка, кольцо с градусными делениями и диоптры или оптическая труба для наведения на предмет. Б. применяют при проведении топогеодезических работ, для ориентировки планшета и определения склонения магнитной стрелки, выполнения топографической привязки элементов боевого порядка войск. Для управления огнем артиллерии, целеуказания, изучения местности и целей, а также для наблюдения во время стрельбы применяют артиллерийскую Б. (рис.), которой можно пользоваться из-за укрытия. Для маркшейдерских съёмок и при ориентировке горных выработок, недоступных для др. съёмок, применяют подвесную Б.; более точные Б. — коробчатая, зеркальная, автоколлимационная.

Буссольная съемка является плановой углоизмерительной съемкой, в процессе которой измерения магнитных азимутов направлений производят буссолью, а линейные измерения выполняют шагами или с помощью мерной ленты.

Буссольную съемку обычно применяют для создания планов небольших участков местности малой точности. Приемы буссольной съемки используют также для определения планового положения объектов ситуации в более точных методах съемок. При съемке участка местности с помощью буссоли применяют способы обхода, прямой и обратной засечек, створов, полярных и прямоугольных координат.

Способ обхода заключается в том, что по границам снимаемого участка прокладывают замкнутый буссольный ход. В вершинах полигона колышками закрепляют опорные точки I, II, III, IV. Над точкой I устанавливают буссоль и, когда магнитная стрелка буссоли зафиксирует положение север - юг, через диоптры визируют вешки, установленные в точках II, IV, I, и производят измерения магнитных азимутов линий I-II, II-III, III-IV, IV-I.

Результаты измерений записывают в журнал буссольной съемки.

Разность между прямым и обратным азимутами для каждой линии буссольного хода не должна превышать 180о ± 2t , где t - ошибка в отсчете, равная половине наименьшего деления на лимбе буссоли. Например, если наименьшее деление лимба буссоли Шмалькальдера равно 1о, то

t = 30', следовательно, 2t = 1о.

Одновременно с измерением длины линий производят съемку ситуации способами прямоугольных и полярных координат, угловых засечек и створов.

При съемке ситуации способом прямоугольных координат измеряемую линию принимают за ось абсцисс, от которой с помощью экера опускают перпендикуляры снимаемого контура на характерные точки, а расстояния по осям координат определяют мерной лентой, рулеткой или шагами.

Способ полярных координат удобен для определения характерных точек контура с опорных точек полигона. В этом случае опорную точку (станция стояния) принимают за полюс и по направлению на определяемую точку измеряют магнитный азимут и длину стороны (мерной лентой или шагами).

Способ угловых засечек рациональнее использовать для съемки ситуации, когда расстояния до отдельных контурных точек недоступны или неудобны для измерения. Чаще всего применяют прямую угловую засечку, когда с опорных точек стороны полигона визируют контурную точку и измеряют магнитные азимуты визирных направлений.

Способ створов следует применять при съемке линейных объектов, пересекающих стороны полигона. В этом случае в точке пересечения измеряют магнитный азимут направления и расстояние от опорной точки полигона по ходу движения.

Результаты измерений ситуации заносят в абрис - схематический чертеж снимаемой местности. Абрис составляют по сторонам полигона.

После проведения полевых измерений вычисляют средние значения прямых азимутов, горизонтальных проложений линий, а также правильность средних значений длин сторон хода.

Построение плана буссольной съемки осуществляют на листке чертежной бумаги размером 297 х 210 мм таким образом, чтобы фигура замкнутого полигона располагалась посередине листа. Построение полигона (рис. 13) начинают с проведения линий магнитного меридиана с правой стороны листа на расстоянии 2,0-2,5 см от края листа. После этого намечают на бумаге точку I полигона так, чтобы план разместился в центре листа. Через точку I проводят линию, параллельную магнитному меридиану. От точки I по транспортиру откладывают среднее значение магнитного азимута линии I-II и проводят прямую, на которой в заданном масштабе откладывают расстояние до точки II. Затем через точку II также проводят линию, параллельную магнитному меридиану, и по транспортиру отмеряют азимут II-III, в направлении которого откладывают масштабное значение длины линии и получают плановое местоположение точки III. Местоположение последних точек полигона определяют последовательным наложением соответствующих азимутов сторон и их длин. На рисунке 14, а показано построение плана полигона в масштабе 1 : 5000, из чего видно, что положение точки II определялось путем наложения Ат = 53о и отложения длины линии I-II, равной 180 м (в масштабе 1 : 5000 180 м = 36 мм. ).

При построении плана полигона по азимутам и сторонам замкнутого буссольного хода вследствие ошибок полевых измерений и графических построений может возникать линейная невязка f, т. е. несовпадение конца последней стороны хода с его первой точкой. На рисунке 14, а показана линейная невязка f - отрезок I-I' . Невязка будет допустимой, если она не превышает 1 : 100 длины буссольного хода. Если линейная невязка f, полученная при построении плана, оказалась допустимой, то полигон увязывается способом параллельных линий. Через точки II, III, IV проводят линии, которые параллельны направлению невязки I-I', на которых откладывают величины поправок, т. е. линейные отрезки смещения вершин наложенного участка. Величины поправок для каждой точки полигона определяют графическим способом, построением треугольника увязок (рис. 14, б). Для этого в уменьшенном масштабе определяют длину полигона и откладывают ее на прямой линии, на левом конце отрезка ставят точку I, а на правом - I' ; длины сторон также откладывают в заданном масштабе и получают положения точек II, III, IV полигона. Из точки I восстанавливают перпендикуляр, на котором откладывают отрезок невязки полигона - точку f, которую соединяют с точкой I, затем из точек II , III, IV восстанавливают перпендикуляр до гипотенузы треугольника и получают величины поправок f2 , f3 , f4 , т. е. графические величины передвижения вершин полигона по направлениям параллельных линий. На рисунке 14, а толстой линией показан увязанный полигон.

Увязанный полигон оставляют в качестве основы для нанесения контуров и объектов ситуации способами, соответствующими тем, которые были применены при съемке. Исходные данные ситуации берут из абрисов.