3.3. Оценка аннуитета с периодом больше года Основные положения

• На практике широко распространены аннуитеты, периоды которых не превосходят базовые периоды начисления процентов. В частности, если базовый период равен году, то период аннуитета не превышает одного года. Однако встречаются ситуации, связанные с аннуитетом, когда его период больше года.

• Формулы для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета, период которого больше базового периода начисления процентов, аналогичны формулам для оценки будущей и приведенной стоимости обычного аннуитета. Формулы для оценок аннуитета пренумерандо получаются из соответствующих формул для оценок аннуитета постнумерандо с использованием, как правило, того факта, что денежные поступления пренумерандо начинаются на период (аннуитета) раньше, чем постнумерандо.

Вопросы для обсуждения

1. Приведите пример срочного аннуитета, период которого больше года, а начисление сложных процентов происходит раз в году.

2. Какой срочный аннуитет выгоднее: с платежами по 10 тыс. руб. каждые два года или по 5 тыс. руб. каждый год?

3. Каково соотношение между приведенными стоимостями аналогичного вида аннуитетов пренумерандо и постнумерандо, периоды которых больше базового периода начисления процентов?

4. Приведите формулу приведенной стоимости бессрочного аннуитета постнумерандо, период которого больше базового периода начисления процентов.

Типовые примеры и методы их решения

Пример 3.3.1. Работник заключает с фирмой пенсионный контракт на 12 лет, согласно которому на счет работника в банке в конце каждого двухлетнего периода будет поступать по 3 тыс. руб. Требуется определить наращенную сумму к концу действия контракта, если на поступающие суммы будут начисляться: а) ежегодно сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 24%; б) ежеквартально сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 24%; в) непрерывны, проценты с силой роста 24% за год.

Решение. Денежные поступления образуют постоянный аннуитет постнумерандо с А = 3 тыс. руб., сроком п = 12 лет и периодом и = 2 года. Следовательно, период аннуитета больше базового периода начисления процентов, равного году. Схематично это выглядит таким образом:

3 3 3 3 3 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t лет

а) В этом случае r = 24%, m = 1 и по формуле (146) получим:

тыс. руб.

б) Поскольку в этом случае начисление процентов ежеквартальное, то m = 4 и по формуле (146) получим:

тыс. руб.

в) Полагая , по формуле (149) находим:

тыс. руб.

Пример 3.3.2. Определите сумму, которую необходимо поместить на счет в банке, чтобы в течение 15 лет в конце каждого трехлетнего периода иметь возможность снимать со счета 8 тыс. руб., причем к концу срока полностью выбрать все деньги со счета, если на находящиеся на счете денежные суммы будут начисляться: а) ежегодно сложные проценты по ставке 20%; б) каждые полгода сложные проценты по ставке 20%; в) непрерывные проценты с силой роста 20%.

Решение. Во всех случаях надо определить приведенную стоимость постоянного аннуитета с А = 8 тыс. руб., периодом u = 3 года и сроком n = 15 лет.

а) Так как r =20%, то, применяя формулу (147) при m = 1, получим:

тыс. руб.

б) В этом случае m = 2, r = 20%, и поэтому из формулы (147) следует, что:

тыс. руб.

в) Поскольку в этом случае начисляются непрерывные проценты с силой роста = 0,2 , то по формуле (150) получим:

тыс. руб.

Пример 3.3.3. На счет в банке в начале каждого двухлетнего периода будет поступать по 8 тыс. руб. в течение 10 лет. Требуется определить: а) будущую стоимость аннуитета; б) приведенную стоимость аннуитета, если на поступающие суммы будут ежегодно начисляться декурсивные сложные проценты по ставке 22% годовых.

Решение. Согласно условию имеем аннуитет пренумерандо с членом А = 14 тыс. руб., периодом u = 2 года и сроком n = 10 лет. Сложная процентная ставка r = 22% годовых и число начислений процентов m = 1.

а) В соответствии с формулами (146) и (152) получим:

тыс. руб.

б) По формулам (147) и (153):

тыс. руб.

Пример 3.3.4. Предприниматель приобрел оборудование в кредит за 900 тыс. руб. под 25% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать долг нужно равными суммами в конце каждого второго года и им платить весь долг за 10 лет. Требуется определить величину каждого платежа и составить план погашения долга.

Решение. Обозначим через А величину каждого искомого платежа. Поток этих платежей представляет собой аннуитет постнумерандо, для которого руб., r = 25%, п = 10, m = 1, u = 2. Поэтому для нахождения величины А можно пользоваться формулой (147), из которой следует:

руб.

Теперь поясним составление плана погашения долга. Поскольку в течение первых двух лет предприниматель пользовался кредитом в размере 900000 руб., то платеж, который равен 567147 руб. и будет сделан в конце второго года, состоит из следующих двух частей: сложных процентов за два года в сумме 506250 руб. ( руб.) и погашаемой части долга в сумм 567147 - 506250 = 60897 руб. В следующем двухлетии расчет будет повторен при условии, что размер кредита, которым пользу предприниматель, составит уже меньшую сумму по сравнению с первыми двумя годами, а именно: 900000 - 60897 = 839103 руб. Таким образом, сложные проценты за два года будут равны 471995руб. ( руб.), а погашаемая часть долга будет равна 567147 – 471995 = 95152 руб. и т.д. Ясно, что с течением времени сумма уплачиваемых процентов снижается, а доля платежа в счет погашения долга возрастает.

План погашения долга представим в виде таблицы.

Номер двухлетия	Остаток ссуды на начало двухлетия	Величина платежа	В том числе		Остаток ссуды на конец двухлетия
			проценты за два года	погашенная часть долга
1	900000	567147	506250	60897	839103
2	839103	567147	471995	95152	743951
3	743951	567147	418472	148675	595276
4	595276	567147	334843	232304	362972
5	362972	567147	204175	362972	0

Поскольку данные в ходе вычислений округлялись, величина процентов в последней строке найдена балансовым методом, т.е. вначале записываем погашенную часть долга 362972 руб., а затем определяем величину процентов за два года: 567147 – 362972 = 204175 руб. Если же непосредственно найти сложные проценты за два года от суммы в 362972 руб. исходя из процентной ставки 25%, то получим 204172 руб. Суммируя величины в пятом столбце, получим размер кредита: 900000 руб.

Задачи

3.3.1. Работник заключает с фирмой пенсионный контракт на 20 лет, согласно которому на счет работника в банке в конце каждого двухлетнего периода будет поступать по 1,5 тыс. руб. Требуется определить наращенную сумму к концу действия контракта, если на поступающие суммы будут ежегодно начисляться декурсивные сложные проценты по ставке 18% годовых.

3.3.2. Фирма решила образовать фонд для обеспечения будущих расходов. С этой целью в конце каждых трех лет фирма перечисляет в банк по 25 тыс. руб. Какая сумма будет на счете фирмы через 21 год, если на поступающие суммы будут начисляться: а) по полугодиям сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 20%; б) непрерывные проценты с силой роста 20% за год?

3.3.3. Определите сумму, которую необходимо поместить на счет в банке, чтобы в течение 16 лет в конце каждого двухлетнего периода иметь возможность снимать со счета 5 тыс. руб., причем к концу срока полностью выбрать все деньги со счета, если на находящиеся на счете денежные суммы будут начисляться: а) ежегодно сложные проценты по ставке 24%; б) каждый квартал сложные проценты по ставке 24%; в) непрерывные проценты с силой роста 24%.

3.3.4. На счет в банке в начале каждого трехлетнего периода будет поступать по 10 тыс. руб. Требуется определить наращенную сумму через 15 лет, если на поступающие суммы будут ежегодно начисляться декурсивные сложные проценты по ставке 23% годовых.

3.3.5. В течение 24 лет каждые четыре года в банк вносится по 40 тыс. руб. по схеме: а) постнумерандо; б) пренумерандо. Банк начисляет сложные проценты каждые полгода из расчета 16% годовых. Какая сумма будет на счете в конце срока?

3.3.6. Страховая компания, заключив на 8 лет договор с некоторой фирмой, получает от нее страховые взносы по 35 тыс. руб. в конце каждого двухлетнего периода. Эти взносы компания помещает в банк под годовую номинальную процентную ставку 20% годовых. Найдите приведенную стоимость суммы, которую получит страховая компания по данному контракту, если сложные проценты начисляются: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) непрерывно.

3.3.7. Предприятие в целях создания фонда хочет накопить на своем счете 300 тыс. руб., осуществляя в конце каждого третьего года равные вклады в банк под сложную процентную ставку 25% годовых. Какой величины должен быть каждый вклад, чтобы предприятие могло накопить требуемую сумму за: а) 9 лет; б) 18 лет?

3.3.8. Некоторая фирма хочет создать фонд в размере 350 тыс. руб. С этой целью в конце каждого двухлетнего периода фирма предполагает вносить по 20 тыс. руб. в банк под 28% годовых. Найдите срок, необходимый для создания фонда, если банк начисляет сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) непрерывно.

3.3.9. Какую сумму необходимо поместить в банк под номинальную процентную ставку 30% годовых, чтобы в течение 20 лет иметь возможность в конце каждого двухлетнего периода снимать со счета по 10 тыс. руб., исчерпав счет полностью, если банком начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) по полугодиям; в) непрерывно?

3.3.10. Имеется переменный аннуитет постнумерандо (тыс. руб.): 4, 2, 1, 8, 5. Рассчитайте: а) будущую стоимость аннуитета; б) приведенную стоимость аннуитета, если его период равен трем годам и начисление процентов осуществляется по сложной процентной ставке 25% годовых. Как изменятся полученные оценки, если исходный поток представляет собой аннуитет пренумерандо?

3.3.11. Получена ссуда на 15 лет в сумме 1 200 тыс. руб. под 20% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого трехлетнего периода. Требуется определить величину каждого платежа и составить план погашения долга.

3.3.12. Перед выходом на пенсию господин N хочет обеспечить себе дополнительно по прошествии каждых двух лет доход в сумме 8 тыс. руб. неограниченно долго. Какую сумму он должен поместить в банк, начисляющий сложные проценты по ставке 24% годовых?

3.3.13. Определите текущую (приведенную) стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо с поступлением 4,2 тыс. руб. через каждые четыре года, если предлагаемый государственным банком процент по срочным вкладам равен 28% годовых, причем сложные проценты начисляются ежеквартально.

3.3.14. Кредитор заключил контракт, согласно которому должник обязуется выплатить 100 тыс. руб. за 8 лет равными суммами в конце каждого двухлетнего периода, причем на непогашенный остаток будут начисляться сложные проценты по процентной ставке 20% годовых. По какой цене кредитор может продать этот контракт банку, который на ссуженные деньги начисляет сложные проценты по процентной ставке 25% годовых?

Задача 3.3.15.

«Крокус банк» выдал кредит в размере 4 млн. рублей. Кредит должен погашаться равными суммами в течение 4 лет по ставке 40% годовых. Определить размеры выплат (план погашения долга и сумму выплаченных процентов, если погасительные платежи осуществляются:

1. Один раз в конце года

2. По полугодиям.

Задача 3.3.16

Банк "СТРОЙИНВЕСТ" выдал кредит под закупку товаров. Определить размеры выплат по каждому периоду (план погашения долга) и сумму выплаченных процентов (условия предоставления кредита указаны в таблице).

Наименование показателя	1 вариант	2 вариант	3 вариант	4 вариант	5 вариант
Сумма кредита (млн.руб.)	10	14	18	16	12
Срок, на который выдан кредит(лет)	5	7	3	2	4
Процентная ставка (%)	45	35	40	50	30
Частота погасительных платежей	по полугодиям	один раз в год	каждый квартал	каждый месяц	каждый квартал

Задача 3.3.17

"ИМТРАСТ" банк выдал потребительский кредит на сумму I 500 000 руб. Кредит необходимо погасить в течение 3 лет по ставке 20% годовых. Погашение должно осуществляться равными взносами каждое полугодие. Определить стоимость кредита, погашаемую сумму и размер полугодовых взносов.

Задача 3.3.18

Банк "РУССКИЙ КАПИТАЛ" выдал долгосрочный кредит в размере 4 млн. руб. на 4 I ода по годовой ставке сложных проценте 40% годовых с условием, что он будет погашен единовременным платежом с процентами в конце срока. Определить погашаемую сумму и сумму полученных процентов.

Задача 3.3.19

Банк "Реформа" выдал кредит в размере 4 млн. на 4 года по сложной ставке 40% годовых. Погашение кредита предполагается равными срочными уплатами, выплачиваемыми в конце каждого года. Определить сумму срочной уплаты, общие расходы заемщика по погашению кредита и сумму процентов, полученную банком

Задача 3.3.20

"Ландесбапк" выдал ипотечный кредит в размере 250 000 немецких марок по схеме аннуитетной ссуды (выплата равными долями).

Годовая ставка банковского процента: 10% в год.

Погашение2% (ежегодно дополнительно). Ежегодный аннуитет 10%+2%= 12% (30000 нем. марок).

Задача 3.3.21

"ДРЕЗДЕНБАНК" выдал кредит в размере 250 000 нем. марок по схеме аннуитетной ссуды (выплата уменьшающимися долями).

Годовая станка банковского процента: 10% в год. Погашение: 2% (возврат кредита осуществляется равными ежегодными взносами - 5 000 нем. марок).

Задача 3.3.22

Банк "ЕВРОКОСМОС" выдал кредит для покупки автомобиля, Определить стоимость кредита, погашаемую сумму и размер равных срочных уплат (условия предоставления кредита указаны в таблице).

Наименование показателя	1 вариант	2 вариант	3 вариант	4 вариант	5 вариант
Сумма кредита (млн. руб.)	40	35	50	45	30
Срок, на который выдан кредит (лет)	3	2	4	2	3
Процентная ставка (%}	30 (простая ставка)	25 (простая ставка)	35 (сложная ставка)	40 (простая ставка)	30 (простая ставка)
Погашение равными взносами	каждые полгода	каждый квартал	каждый год	каждый месяц	каждый квартал

Задача 3.3.23

Сберегательная касса г. Кельна выдает ипотечные ссуды частным лицам по схеме аннуитетной ссуды (выплата равными долями) на условиях, указанных в таблице.

Показать схему погашения ссуды и определить количество лет. необходимых для погашение данной ссуды.

Наименование показателя	1 вариант	2 вариант	3 вариант	4 вариант	5 вариант
Сумма кредита (нем. марки.)	400 000	350 000	300 000	1 50 ООП	200 000
Годовая процентная ставка (%)	8	7,5	8,5	7	9
Погашение (%)	4.5	4	3,5	3	2,5
Ежегодный аннуитет (%)	12,5	11,5	12	10	11,5

Задача 3.3.24

Под залог выдана сумма 200 млн. руб. на 25 лет под 12% годовых. Погашение осуществлять равными платежами раз в год в конце года. Найти величину платежа. Построить график платежей и остатка долга.

Задача 3.3.25. Пусть сумма ипотечного кредита равна 60 млн. рубл. Срок погашения 15 лет.

(Стоимость приобретаемой квартиры равна $40 тыс. Часть стоимости 30% выплачивается ($18 тыс), на остаток суммы вы берете кредит под залог квартиры на 15 лет под 15% годовых)

Рассмотреть две схемы погашения ипотечного кредита.

1 схема. Стандартная ипотека - погашение осуществляется равными взносами.

2 схема. Срок погашения разбит на два периода. 5 лет (60 мес) и 10 лет ( 120 мес) В первом периоды происходит ежегодный прирост срочных уплат на 5%. Во втором периоде погашение осуществляется равными выплатами.

Составит схему погашения долга по обеим схемам.

Задача 3.3.26. Согласно условиям финансового соглашения на счет в банке в течение 7 лет в конце или в начале года будут поступать денежные суммы, первая из которых равна 6 тыс. руб., а каждая последующая будет увеличиваться на 0,3 тыс. руб. Оцените этот поток платежей, если банк применяет процентную ставку 22 % годовых и сложные проценты начисляются один раз в конце года. Как изменятся оценки потока, если денежные суммы будут уменьшаться на 0,3 тыс. руб.

Задача 3.3.27..За 10 лет необходимо накопить 50 тыс. руб. Какова должна быть величина первого вклада, если предполагается каждый год увеличивать величину денежного поступления на 400 руб. и процентная ставка равна 20% годовых? Денежные поступления и начисление сложных процентов осуществляется в конце года. Определите, на какую величину необходимо увеличивать каждый год денежное поступление, если первый вклад будет равен 1,5 тыс. руб.

Задача 3.3.28. По условиям контракта на счет в банке поступают в течение 7 лет в конце года платежи. Первый платеж равен 4 тыс. руб., а каждый следующий по отношению к предыдущему увеличивается на 10%. Оцените этот поток, если банк начисляет в конце каждого года сложные проценты из расчета 28% годовых.

Задача 3.3.29. Сдан участок в аренду на десять лет. Арендная плата будет осуществляться ежегодно по схеме постнумерандо на следующих условиях: в первые семь лет – по 20 тыс. руб., в оставшиеся три года – по 12 тыс. руб. Требуется оценить приведенную стоимость этого договора, если процентная ставка сложных процентов равна 22% годовых.

30