3.2. Непрерывный и переменный аннуитеты Основные положения
Если в течение каждого базового периода денежные поступления происходят очень часто, так что промежутки между последовательными поступлениями представляют собой бесконечно малые величины, то аннуитет считают непрерывным, т.е. денежные поступления происходят непрерывно с постоянной интенсивностью: одно и то же количество денежных единиц в единицу времени.
Аннуитет называется переменным, если его члены различны по величине. Для оценки переменного аннуитета используют, вообще говоря, общие формулы оценки денежного потока.
Если члены аннуитета изменяются в соответствии с некоторыми законами (в частности, образуют арифметическую или геометрическую прогрессию), то общие формулы для определения будущей или приведнной стоимости аннуитета можно упростить.
Чтобы при оценке переменного аннуитета без явно выраженной зависимости между его членами пользоваться стандартными формулами, надо стараться представить этот аннуитет в виде суммы или разности постоянных аннуитетов.
Вопросы для обсуждения
Какой аннуитет называется непрерывным?
В каких случаях p-срочный аннуитет можно практически считать непрерывным? Приведите пример.
Каким образом можно получить формулы для оценки непрерывного аннуитета?
Имеет ли смысл говорить о непрерывном аннуитете как об аннуитете постнумерандо или пренумерандо?
Какой аннуитет называется переменным?
Приведите пример переменного аннуитета с постоянным абсолютным изменением его членов. Какую зависимость образуют члены такого аннуитета?
Приведите пример переменного аннуитета с постоянным относительным изменением его членов. Какую зависимость образуют члены такого аннуитета?
Приведите пример переменного аннуитета, при оценке которого можно воспользоваться формулами оценки постоянного аннуитета.
Типовые примеры и методы их решения
Пример 3.2.1. В течение 4 лет на счет в банке ежедневно будут поступать одинаковые платежи, каждый год составляя и сумме 10 тыс. руб. Определите сумму, накопленную к концу четвертого года при использовании процентной ставки 15% годовых, если начисление сложных процентов осуществляется: а) ежегодно; б) ежемесячно.
Решение.
а) Полагаем n
= 4, m
= 1, r
= 15%. Поскольку платежи поступают
достаточно часто, будем считать, что
они поступают непрерывным образом.
Тогда можно воспользоваться формулой
(134) при
= 10 тыс. руб.:
тыс. руб.
Сравним этот
результат со значением, полученным по
формуле (122), полагая, что в году 360 дней
и дан аннуитет постнумерандо. Так как
р
= 360,
,
получим:
тыс.
руб.
Видим, что полученные величины отличаются незначительно (всего на 11 руб.). Кстати, считая, что имеем дело с аннуитетом пренумерандо, по формуле (126) находим:
тыс. руб.
Эта
величина также мало отличается от 53,592
тыс. руб. (на 10
руб.). Значения же
и
незначительно отличаются друг
от друга, поскольку при частом (в данном
случае - ежедневном)
поступлении денег разница между
аннуитетами постнумерандо
и пренумерандо начинает исчезать.
б)
Так же как и в предыдущем случае, будем
считать, что платежи
поступают непрерывным образом. Поскольку
при m
= 12 ( и поэтому
)
табличным значением коэффициента
наращения аннуитета воспользоваться
нельзя, перед
вычислением преобразуем немного формулу
(134):
Отсюда:
тыс.
руб.
Предполагая же, что в условии говорится о постоянном аннуитете постнумерандо или пренумерандо, соответственно по формулам (122) и (126) получим:
тыс. руб.;
тыс. руб.
Видим, что вычисленные значения мало отличаются от 54,696 тыс. руб.
Пример 3.2.2. Фирма намеревается выпускать некоторую продукцию в течение трех лет, получая ежегодно выручку в размере 30 млн. руб. Предполагается, что продукция в течение года будет продаваться более или менее равномерно. Оцените ожидаемые денежные поступления, если применяется непрерывная ставка 20% за год.
Решение. Поскольку в условии говорится о более или меле равномерном распределении продаж в течение года, то логично предполагать, что интенсивность потока выручки будет в каком то мере постоянной величиной, равной 30 млн. руб. в год. Считая, что денежные поступления происходят непрерывно, воспользуемся формулами (137) и (138), определяющими соответственно будущую и приведенную стоимости непрерывного аннуитета. Полагая = 30 млн. руб., п = 3, = 0,2, получим:
млн. руб.;
млн. руб.
Конечно,
при определении
можно было воспользоваться уже найденным
значением
и
формулой (78), из которой следует:
млн. руб.
Пример 3.2.3. Финансовая компания в течение пяти лет к соответствии со своими обязательствами должна выплачивать вкладчикам по 20 млн. руб. ежегодно. Какой суммой должна располагать компания, чтобы иметь возможность выполнить обязательства, если норма доходности составляет 30% за год и выплаты происходят постоянно и достаточно равномерно?
Решение. Полагая, что выплаты происходят непрерывно с постоянной интенсивностью (т.е. моделируя ситуацию с помощью непрерывного аннуитета), для нахождения необходимой суммы воспользуемся формулой (135) определения приведенной стоимости аннуитета. Так как = 20 млн. руб., n = 5, m = 1 и r = 30%, то:
млн. руб.
Таким образом, обладая 55,7 млн. руб., компания способна выполнить свои обязательства перед вкладчиками.
Пример 3.2.4. Имеется переменный аннуитет постнумерандо (тыс. руб.): 20, 12, 8, 45, 30. Рассчитайте: а) будущую стоимость аннуитета; б) приведенную стоимость аннуитетов, если его период совпадает с базовым периодом начисления процентов по сложной процентной ставке 25% годовых, т.е. равен одному году. Как изменятся полученные оценки, если исходный поток представляет собой аннуитет пренумерандо?
Решение. а) Обозначим (в тыс. руб.) С1 = 20, С2 = 12, С3 = 8, С4 = 45, С5 = 30 и r = 0,25. Изобразим схематично условие задачи на оси времени (одно деление равно одному году), помещая над осью члены аннуитета.
20 12
8 45 30
0 1 2 3 4 5 t лет
Для определения будущей стоимости аннуитета можно воспользоваться формулой (116). Для наглядности представим результаты расчетов в табличном виде.
(тыс. руб.)
Год |
Денежный поток |
Множитель наращения при r = 25% |
Наращенный поток |
1 |
20 |
2,4414 |
48,828 |
2 |
12 |
1,9531 |
23,4372 |
3 |
8 |
1,5625 |
12,5 |
4 |
45 |
1,25 |
56,25 |
5 |
30 |
1 |
30 |
|
115 |
|
171,0152 |
Из таблицы видно,
что на первое денежное поступление в
размере 20 тыс. руб. начисляются сложные
проценты за 4 года и оно в конце пятого
года станет равным
тыс. руб.; на второе денежное поступление
в размере 12 тыс. руб начисляются сложные
проценты за 3 года и оно в конце пятого
года станет равным
тыс. руб. и т.д. Будущая стоимость аннуитета
равна сумме наращенных поступлений,
т.е. стоимость аннуитета равна сумме
наращенных поступлений, т.е.
тыс. руб.
б) Для определения приведенной стоимости аннуитета можно воспользоваться формулой (117). Как и в предыдущем случае, для наглядности представим результаты расчетов в табличном виде:
(тыс. руб.)
Год |
Денежный поток |
Дисконтный множитель при r = 25% |
Приведенный поток |
1 |
20 |
0,8 |
16 |
2 |
12 |
0,64 |
7,68 |
3 |
8 |
0,512 |
4,096 |
4 |
45 |
0,4096 |
18,432 |
5 |
30 |
0,3277 |
9,831 |
|
115 |
|
56,039 |
Таким образом, с
позиции начала первого года приведенная
стоимость 20 тыс. руб. составляет
тыс. руб., приведенная
стоимость 12 тыс. руб. составляет
тыс. руб. и
т.д. Суммируя приведенные стоимости
всех денежных поступлений, получим
приведенную стоимость аннуитета
тыс. руб.
Конечно, при рассмотрении этого случая можно было вое пользоваться уже ранее найденной будущей стоимостью , а именно:
тыс. руб.
Расхождение в 2 руб. 70 коп. (0,0027 тыс. руб.) является следствием погрешности вычислений.
Если же исходный поток является аннуитетом пренумерандо, то схематично условие задачи выглядит таким образом:
2 0 12 8 45 30
0 1 2 3 4 5 t лет
Для определения будущей и приведенной стоимости этого аннуитета пренумерандо можно воспользоваться полученными результатами и формулами (118) и (119):
тыс. руб.;
тыс. руб.
Пример 3.2.5. Согласно условиям финансового соглашения на счет в банке в течение 8 лет: а) в конце года; б) в начале года будут поступать денежные суммы, первая из которых равна 4 тыс. руб., а каждая следующая будет увеличиваться на 0,5 тыс. 1уб. Оцените этот аннуитет, если банк применяет процентную ставку 20% годовых и сложные проценты начисляются один раз в конце года. Как изменятся оценки аннуитета, если денежные суммы будут уменьшаться на 0,5 тыс. руб.?
Решение. а) Согласно условию имеем переменный аннуитет постнумерандо с постоянным абсолютным изменением его членов и, следовательно, для оценки аннуитета воспользуемся формулами (140) и (141). По условиям соглашения А = 4 тыс. руб., n = 8, r = 0,2, и если суммы возрастают, то z = 0,5 тыс. руб. Поэтому:
тыс. руб.;
тыс. руб.
С целью проверки воспользуемся формулой (65):
тыс. руб.,
т.е. результаты вычислений совпадают с точностью до второго знака после запятой (отличие на 3 руб.).
Если суммы будут уменьшаться, то z = -0,5 и, следовательно,
тыс. руб.
тыс. руб.
Заметим, что при
z
< 0 члены аннуитета убывают и число
этих членов (равное числу периодов n)
должно удовлетворять неравенству
,
иначе можно получить отрицательные
платежи, что лишено смысла, т.е. должно
выполняться условие
.
Таким образом, в данной ситуации (при n
= 8 ) все платежи положительны.
б) Оценки аннуитета
пренумерандо нетрудно получить, используя
соотношения
,
.
Если z
= 0,5, то
тыс. руб.;
тыс. руб.
Если же z = -0,5, то
тыс. руб.;
тыс. руб.
Нетрудно получить формулы оценки аннуитета, аналогичные формулам (140), (141), и для других ситуаций. Однако эти формулы приобретают несколько громоздкий вид. Например, если в переменном аннуитете постнумерандо с постоянным абсолютным изменением его членов начисление сложных процентов происходит m раз за период, то можно показать, что
Так, если в условиях
примера начисление сложных процентов
происходит в конце каждого квартала (m
= 4), то
и z
= 0,5 получаем:
тыс. руб.
Пример 3.2.6. За 6 лет необходимо накопить 30 тыс. руб. Какой величины должен быть первый вклад, если предполагается каждый год увеличивать величину денежного поступления на 800 руб. и процентная ставка равна 25% годовых? Денежные поступления и начисление сложных процентов осуществляются в конце года. Определите, на какую величину необходимо увеличивать каждый год денежное поступление, если первый вклад будет равен 2 тыс. руб.
Решение.
Полагая в формуле (140)
тыс. руб., z
= 0,8 тыс. руб., п
= 6
и r
= 0,25
, получим уравнение:
из которого находим размер первого вклада:
тыс. руб.
Если же известна величина первого вклада А = 2 тыс. руб. и неизвестна величина z абсолютного изменения денежных поступлений, то по формуле (140) получим:
откуда:
тыс. руб.
Пример 3.2.7. По условиям контракта на счет в банке поступают в течение 7 лет в конце года платежи. Первый платеж равен 4 тыс. руб., а каждый следующий по отношению к предыдущему увеличивается на 10%. Оцените этот аннуитет, если банк начисляет в конце каждого года сложные проценты из расчета 28% годовых.
Решение. Поскольку ежегодно платежи увеличиваются и 1,1 раза (на 10%), то денежный поток представляет собой переменный аннуитет постнумерандо с постоянным относительным изменением его членов. Поэтому для оценки аннуитета воспользуемся формулами (143) и (144). Полагая А = 4 тыс. руб., n = 7, r = 0,28 и q = 1,1, получим:
тыс. руб.;
тыс. руб.
Пример 3.2.8. Компания за предыдущий год выплатила 2 тыс. руб. на акцию. Согласно прогнозам дивиденды по акциям этой компании будут расти на 100 руб. ежегодно в течение неопределенно долгого времени. Сделайте вывод о целесообразности покупки акций компании по цене 12 тыс. руб., если можно поместить деньги на депозит под 24% годовых. Изменится ли ситуация, если дивиденды по акциям будут расти на 8% ежегодно в течение неопределенно долгого времени?
Решение. Полагая А = 2 тыс. руб., z = 0,1 тыс. руб. и r = 0,24, по формуле (142) оценки бессрочного аннуитета найдем истинную стоимость акции:
тыс. руб.
Так как истинная стоимость акции меньше ее цены, то не имеет смысла приобретать акцию.
Пусть теперь дивиденды по акциям растут на 8% в год, т.е. увеличиваются ежегодно в 1,08 раза. В этом случае истинная стоимость акции по формуле (145) при q = 1,08 составит:
тыс. руб.
Таким образом, истинная стоимость акции больше ее цены, следовательно, имеет смысл ее приобретение.
Пример 3.2.9. Сдан участок в аренду на десять лет. Арендная плата будет осуществляться ежегодно по схеме постнумерандо на следующих условиях: в первые семь лет- по 20 тыс. руб., в оставшиеся три года - по 12 тыс. руб. Требуется оценить приведенную стоимость этого договора, если процентная ставка, используемая аналитиком, равна 22%.
Решение. Естественно, приведенная стоимость денежного потока должна оцениваться с позиции начала первого временного интервала. Решать данный пример можно различными способами в зависимости от того, какие аннуитеты будут выделены аналитиком. Во-первых, можно воспользоваться общей формулой (117). Представим еще три варианта решения.
а) Исходный поток можно представить как сумму двух аннуитетов: первый имеет А =12 тыс. руб. и продолжается десять лет; второй имеет А =8 тыс. руб. и продолжается первые семь лет. По формуле (121) можно оценить приведенную стоимость каждого аннуитета, а сумма этих оценок даст значение приведенной стоимости исходного денежного потока:
тыс. руб.
б) Исходный поток можно представить как разность двух аннуитетов: первый имеет А = 20 тыс. руб. и продолжается десять лет; второй имеет А = 8 и, начавшись в восьмом году, заканчивается в десятом. По формуле (121) можно оценить приведенную стоимость каждого аннуитета. Однако второй аннуитет в этом случае будет оценен с позиции начала восьмого года, поэтому полученную сумму необходимо дисконтировать с помощью формулы (65) к началу первого года. В этом случае оценки двух аннуитетов будут приведены к одному моменту времени, а их сумма даст оценку приведенной стоимости исходного денежного потока.
тыс. руб.
в) Исходный поток можно представить как сумму двух аннуитетов: первый имеет А = 20 тыс. руб. и продолжается семь лет; второй имеет А = 12 тыс. руб. и продолжается последние три года (т.е. является отсроченным аннуитетом). Поэтому по формулам (121) и(125) при h = 7, получим:
тыс. руб.
Задачи
3.2.1. В течение 7 лет на счет в банке ежедневно будут поступать одинаковые платежи, каждый год составляя в сумме 'тыс. руб. Определите сумму, накопленную к концу седьмого при использовании сложной процентной ставки 24% годовых считая, что платежи поступают непрерывным образом
3.2.2. В течение 3 лет на счет в банке ежедневно будут поступать одинаковые платежи, каждый год составляя в сумме 15 тыс. руб. Определите сумму, накопленную к концу третьего при использовании процентной ставки 18% годовых если начисление сложных процентов осуществляется: а) по полугодиям; б) ежемесячно. Рассмотрите схемы постнумерандо и пренумерандо, полагая в году 360 дней. Можно ли в качестве приближения считать, что имеем дело с непрерывным аннуитетом?
3.2.3. Некоторое месторождение полезных ископаемых будет разрабатываться в течение 8 лет, при этом ожидается что доходы от эксплуатации месторождения составят в среднем 300 млн. руб. в год. Определите капитализированную (приведенную) стоимость ожидаемого дохода при использовании сложной процентной ставки 20% годовых и в предположении отгрузка и реализация продукции будут непрерывны и равномерны.
3.2.4. Финансовая компания в течение трех лет в соответствии со своими обязательствами должна выплачивать вкладчикам по 8 млн. руб. ежегодно. Какой суммой должна располагать компания, чтобы иметь возможность выполнить обязательства, если норма доходности составляет 25% за год и выплаты происходят постоянно и достаточно равномерно?
3.2.5. Фирма намеревается выпускать некоторую продукцию в течение четырех лет, получая ежегодно выручку в размере 40 млн. руб. Предполагается, что продукция в течение года будет продаваться более или менее равномерно. Оцените ожидаемые денежные поступления, если применяется: а) сложная процентная ставка 22% годовых; б) непрерывная ставка 22% за год.
3.2.6. Определите приведенную стоимость непрерывного бессрочного аннуитета с суммарной величиной денежных поступлений, равной 50 тыс. руб. ежегодно, если предлагаемый государственным банком процент по срочным вкладам равен 30% годовых, причем сложные проценты начисляются: а) ежеквартально; б) непрерывно.
3.2.7. Имеется переменный аннуитет постнумерандо (тыс. руб.): 14, 40, 25, 10. Рассчитайте: а) будущую стоимость аннуитета; б) приведенную стоимость аннуитета, если его период совпадает с базовым периодом начисления процентов по сложной процентной ставке 30% годовых, т.е. равен одному году. Как изменятся полученные оценки, если исходный поток представляет собой аннуитет пренумерандо?
3.2.8. Согласно условиям финансового соглашения на счет в банке в течение 7 лет: а) в конце года; б) в начале года будут поступать денежные суммы, первая из которых равна 6 тыс. руб., а каждая следующая будет увеличиваться на 0,3 тыс. руб. Оцените этот аннуитет, если банк применяет процентную ставку 22% годовых и сложные проценты начисляются один раз в конце года. Как изменятся оценки аннуитета, если денежные суммы будут уменьшаться на 0,3 тыс. руб.?
3.2.9. За 10 лет необходимо накопить 50 тыс. руб. Какой величины должен быть первый вклад, если предполагается каждый год увеличивать величину денежного поступления на 400 руб. и процентная ставка равна 20% годовых? Денежные поступления и начисление сложных процентов осуществляются в конце года. Определите, на какую величину необходимо увеличивать каждый год денежное поступление, если первый вклад будет равен 1,5 тыс. руб.
3.2.10. Компания за предыдущий год выплатила 3,2 тыс. руб. на акцию. Согласно прогнозам дивиденды по акциям этой компании будут расти на 200 руб. ежегодно в течение неопределенно долгого времени. Сделайте вывод о целесообразности покупки акций компании по цене 15 тыс. руб., если можно поместив деньги на депозит под 25% годовых.
3.2.11. По условиям контракта на счет в банке поступают в течение 6 лет в конце года платежи. Первый платеж равен 5 тыс. руб., а каждый следующий по отношению к предыдущему увеличивается на 12%. Оцените этот аннуитет, если банк начисляем в конце каждого года сложные проценты из расчета 20% годовых. Оцените аннуитет, если платежи поступают в начале года.
3.2.12. За 5 лет необходимо накопить 40 тыс. руб. Какой величины должен быть первый вклад, если предполагается каждый год увеличивать величину денежного поступления на 15% и процентная ставка равна 24% годовых? Денежные поступления и начисление сложных процентов осуществляются в конце года.
3.2.13. Компания за предыдущий год выплатила 1,5 тыс. руб. на акцию. Согласно прогнозам дивиденды по акциям этой компании будут расти на 6% ежегодно в течение неопределенно долгого времени. Сделайте вывод о целесообразности покупки акций компании по цене 14 тыс. руб., если можно поместить, деньги на депозит под 18% годовых.
3.2.14. Сдан участок в аренду на 15 лет. Арендная плата будет осуществляться ежегодно по схеме постнумерандо на следующих условиях: в первые 10 лет - по 30 тыс. руб., в оставшиеся 5 лет - по 24 тыс. руб. Требуется оценить приведенную стоимость этого договора, если процентная ставка, используемая аналитиком, равна 20%. Приведите несколько вариантов решения.
3.2.15. Арендовано оборудование сроком на десять лет. Плата за эксплуатацию оборудования будет осуществляться ежегодно по схеме постнумерандо на следующих условиях: в первые 4 года - по 40 тыс. руб., в оставшиеся 6 лет - по 45 тыс. руб. Требуется оценить приведенную стоимость этого договора, если процентная ставка, используемая аналитиком, равна 23%. Приведите несколько вариантов решения.