- •1. Бінарні відношення. Рефлексивні, симетричні, транзитивні бінарні відношення. Розбиття на класи. Фактор-множина.
- •2. Натуральні числа (аксіоми Пеано). Принцип математичної індукції.
- •3.Групи. Приклади груп. Основні властивості груп.
- •4. Підгрупи. Означення та критерій. Ізоморфізм та гомоморфізм груп, властивості.
- •5.Кільце. Підкільце. Приклади кілець. Найпростіші власт. Кілець. Ізоморфізми та гомоморфізми к-ць.
- •6. Поле. Підполе. Приклади. Основні властивості полів. Поле дійсних чисел.
- •7.Поле комплексних чисел. Алгебраїчна та тригонометрична форма.
- •8. Системи лінійних рівнянь. Основні означення. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом послідовного виключення невідомих.
- •9. Арифметичний n-вимірний векторний простір. Лінійна залежність і лін. Незал. Множини векторів. Ранг і базис скінченної множини векторів.
- •11. Означення та основні властивості визначників. Необхідна і достатня умова рівності визначника нулеві.
- •12. Знаходження оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень та за допомогою алгебраїчних доповнень. Розв’язування матричним способом системи лінійних рівнянь.
- •13. Теорема Крамера.
- •14. Фундаментальна система розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь. Теорема про існування фундаментальної системи розв’язків.
- •16.Базис і розмірність скінченно вимірного векторного простору. Ізоморфізм векторних просторів.
- •17. Лінійні оператори. Власні значення та власні вектори лінійного оператора.(немаєпро лінійні оператори).
- •18. Теорема про зв’язок характеристичних коренів та власних значень лінійного оператора. Зведення матриці до діагонального виду.
- •19.Теорема про ділення з остачею в кільці цілих чисел. Нсд і нск двох чисел і зв’язок між ними. Алгоритм Евкліда.
- •20. Прості числа. Нескінченність множини простих чисел. Основна теорема арифметики. Застосування канонічного розкладу чисел до знаходження нсд і нск.
- •22. Лінійні порівняння з однією змінною. Теорема про число розв’язків. Метод розв’язування лінійних порівнянь.
- •23.Застосування теорії порівнянь до виведення ознак подібності.
- •25. Многочлени над полем. Теорема про ділення з остачею. Нсд двох многочленів. Алгоритм Евкліда.
- •26. Факторіальні кільця. Факторіальність кільця многочленів над полем.
- •27. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел. Канонічний розклад многочленна над полем комплексних чисел та його єдиність.
- •28. Многочлени з дійсними коефіцієнтами. Спряженість уявних коренів таких многочленів. Незвідні над полем дійсних чисел многочлени та канонічний розклад многочленів над полем дійсних чисел.
- •30. Будова простого розширення числового поля. Звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу.
26. Факторіальні кільця. Факторіальність кільця многочленів над полем.
Кільцем многочленів від змінних над областю цілісності наз. кільце многочленів від змінної над кільцем , тобто .
Т.1. Кільце многочленів над областю цілісності є область цілісності.
Т.2. Кожний елемент можна подати у вигляді скінченої суми.
, .
Т.3. Кожний елемент кільця називають многочленом від змінних над і позначають і т. п.
Т.4. Множина класів лишків кільця за ідеалом з означеними у ній операціями додавання і множення є кільце. Це кільце наз. фактор-кільцем кільця за ідеалом або за модулем .
27. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел. Канонічний розклад многочленна над полем комплексних чисел та його єдиність.
Поле розкладу для будь-якого многочлена над полем (комплексних чисел) є саме поле , тобто в полі комплексних чисел будь-який многочлен розкладається на лінійні множники. Поле алгебраїчно замкнуте і є єдиним числовим полем, яке має цю фундаментальну властивість.
Т. Кожний многочлен степеня з дійсними коефіцієнтами має принаймні один комплексний корінь.
Розклад многочленна.
Т.1. Кожний многочлен, степінь якого вищий за 1, звідний у полі комплексних чисел.
Т.2. Кожний многочлен n-го степеня над полем єдиним способом розкладається на лінійні множники в цьому полі, (1), де – корені, – старший коефіцієнт многочлена .
Доведення. Кожний многочлен над полем можна розкласти у добуток незвідних многочленів у цьому полі, причому ці многочлени визначаються однозначно з точністю до сталого множника: . Але в полі комплексних чисел кожний незвідний многочлен має перший степінь. Отже, число множників повинно дорівнювати степеню даного многочлена і кожний з них є лінійним двочленом. Далі, оскільки визначаються з точністю до сталого множника, вважатимемо, що в кожному з них старший коефіцієнт дорівнює одиниці, тобто . Тоді може відрізнятися від добутку всіх лише сталим множником, тобто: .
Але легко бачити, порівнюючи старші коефіцієнти в обох частинах цієї рівності, що . Далі, є коренями многочленна , бо . Тому ці числа позначимо через . Таким чином, замінюючи через і через , дістаємо шуканий розклад (1). Оскільки сталі множники для незвідних многочленів тут цілком визначені, то розклад (1) однозначний з точністю до порядку множників. Теорему доведено.
З розкладу (1) випливає, що жодне комплексне число, відмінне від чисел , не може бути коренем многочлена .
Оскільки під числом коренів многочлена в даному полі розуміють число лінійних множників многочлена в цьому полі, то переконуємось у справедливості такого твердження:
Т.3. Многочлен n-го степеня має в полі комплексних чисел точно коренів.
Ми бачимо також, що всі корені многочлена над полем комплексних чисел належать цьому самому полю , тобто полем розкладу будь-якого многочлена з комплексними коефіцієнтами є поле комплексних чисел.
Отже, поле комплексних чисел є алгебраїчно замкнутим.