- •1. Бінарні відношення. Рефлексивні, симетричні, транзитивні бінарні відношення. Розбиття на класи. Фактор-множина.
- •2. Натуральні числа (аксіоми Пеано). Принцип математичної індукції.
- •3.Групи. Приклади груп. Основні властивості груп.
- •4. Підгрупи. Означення та критерій. Ізоморфізм та гомоморфізм груп, властивості.
- •5.Кільце. Підкільце. Приклади кілець. Найпростіші власт. Кілець. Ізоморфізми та гомоморфізми к-ць.
- •6. Поле. Підполе. Приклади. Основні властивості полів. Поле дійсних чисел.
- •7.Поле комплексних чисел. Алгебраїчна та тригонометрична форма.
- •8. Системи лінійних рівнянь. Основні означення. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом послідовного виключення невідомих.
- •9. Арифметичний n-вимірний векторний простір. Лінійна залежність і лін. Незал. Множини векторів. Ранг і базис скінченної множини векторів.
- •11. Означення та основні властивості визначників. Необхідна і достатня умова рівності визначника нулеві.
- •12. Знаходження оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень та за допомогою алгебраїчних доповнень. Розв’язування матричним способом системи лінійних рівнянь.
- •13. Теорема Крамера.
- •14. Фундаментальна система розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь. Теорема про існування фундаментальної системи розв’язків.
- •16.Базис і розмірність скінченно вимірного векторного простору. Ізоморфізм векторних просторів.
- •17. Лінійні оператори. Власні значення та власні вектори лінійного оператора.(немаєпро лінійні оператори).
- •18. Теорема про зв’язок характеристичних коренів та власних значень лінійного оператора. Зведення матриці до діагонального виду.
- •19.Теорема про ділення з остачею в кільці цілих чисел. Нсд і нск двох чисел і зв’язок між ними. Алгоритм Евкліда.
- •20. Прості числа. Нескінченність множини простих чисел. Основна теорема арифметики. Застосування канонічного розкладу чисел до знаходження нсд і нск.
- •22. Лінійні порівняння з однією змінною. Теорема про число розв’язків. Метод розв’язування лінійних порівнянь.
- •23.Застосування теорії порівнянь до виведення ознак подібності.
- •25. Многочлени над полем. Теорема про ділення з остачею. Нсд двох многочленів. Алгоритм Евкліда.
- •26. Факторіальні кільця. Факторіальність кільця многочленів над полем.
- •27. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел. Канонічний розклад многочленна над полем комплексних чисел та його єдиність.
- •28. Многочлени з дійсними коефіцієнтами. Спряженість уявних коренів таких многочленів. Незвідні над полем дійсних чисел многочлени та канонічний розклад многочленів над полем дійсних чисел.
- •30. Будова простого розширення числового поля. Звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу.
13. Теорема Крамера.
Теорема КРАМЕРА: Якщо визначник основної матриці не дорівнює 0, то система рівнянь має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами
Доведення: Розглянемо систему алгебраїчних рівнянь, яка містить n рівнянь і n невідомих.
1) Помножимо перше рівняння системи на А11, друге – на А21, n- рівняння системи на Аn1; додаємо перемножені ліві та праві частини, та виносимо ліві частини. Будемо мати:
Вирази в інших (n-1) дорівнюють 0, згідно властивості 13
2) Помножимо перше рівняння на А12 , друге – на А22, ....., n- рівняння –на Аn2, додамо почастинно, виконуючи перетворення аналогічні до першого кроку, отримаємо:
3) І так далі, на n кроці перше рівняння домножимо на А1n , друге рівняння - на А2n , ...., n- рівняння – на Аnn, і виконуючи аналогічні перетворення отримаємо
При доведенні ми не накладали умов відміності від 0 алгебраїчних доповнень, а значить потрібно переконатися, так одержанні значення є розв’язками системи рівнянь, тобто при їх підстановці замість невідомих кожне з рівнянь перетворюють в істинну числову рівність.
Доведемо наприклад для 1-ого рівняння:
- розкладається за елементами першого стовпця; - розкладається за елементами другого стовпця; і так далі, - за елементами n –ого стовпця.
Згідно властивості 13 вираз в дужках дорівнює , якщо і=1, і дорівнює 0 для всіх інших значень і.
Аналогічно перевіряємо інші n-1 рівняння.
Наслідки: 1) розглянемо відповідно однорідну алгебраїчну систему рівнянь, тоді Т. Крамера: якщо визначник основної матриці однорідної системи рівнянь відмінний від 0, то система рівнянь має єдиний розв’язок. Теорема: якщо визначник основної матриці однорідної системи рівнянь дорівнює 0, то система рівнянь має безліч розв’язків.
14. Фундаментальна система розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь. Теорема про існування фундаментальної системи розв’язків.
Теорема про фундаментальну систему розв’язків: якщо ранг основної матриці однорідної системи рівнянь (1) дорівнює r ,і r – менше кількості невідомих n, то існує фундаментальна система розв’язків і їх кількість дорівнює n-r.
Доведення: Згідно теореми Гауса при виконанні теореми, однорідна система рівнянь (1) має безліч розв’язків і сукупність всіх розв’язків системи рівнянь (1) записується так:
(2)
Виберемо з даної сукупності розв’язків n-r розв. По правилу, одна з незалежних змінних дорівнює 1, а всі інші незалежні змінні дорівнюють 0.
1)
2)
Доведемо, що ці вектори є лінійно-незалежні і кожний інший розв’язок є їх лінійною комбінацією. Складемо матрицю з компонентів векторів і еквівалентними перетвореннями зведемо її до діагонального виду. Одним з еквівалентних перетворень є заміна місцями стовпців, поміняємо місцями 1-ий стовпець з r+1; 2-ий – з r+2; n-r - з r. Отримаємо матрицю по головній діагоналі будуть стояти 1, а нижче діагоналі 0. Таким чином ці вектори є лінійно незалежними. Тепер покажемо, що кожен розв’язок можна представити у вигляді лінійної комбінації векторів . У векторі компоненти зв’язані між собою співвідношенням (2) :
.
Помножимо вектор на ; на ; на і додамо, при цьому лінійна комбінація векторів буде такою ж лінійною комбінацією компонентів векторів
Що й треба було довести.