Двоичные коды

Двоичный безызбыточный код. Вся совокупность передаваемых сообщений может быть представлена в виде совокупности различных чисел, т.е. имеет место числовой код. Максимальное количество возможных кодовых комбинаций в числовом коде N_max = mⁿ.

Причиной наибольшего распространения двоичных кодов является простая арифметика двоичных чисел и возможность использования простых, в эксплуатации двухпозиционных элементов.

Максимальное число возможных кодовых комбинаций в двоичном коде N=2ⁿ.

В безызбыточном двоичном коде все кодовые комбинации рабочие. Следовательно, d_min = 1, т.е. любая, даже однократная, ошибка приводит к ложному переходу одной рабочей кодовой комбинации в другую, и = 1 для любого d (от 1 до п).

Безызбыточный двоичный код является помехонезащищенным кодом.

Единственная защита такого кода от ошибок — фиксация нарушения количества элементов в кодовой комбинации. Поэтому используется равномерный двоичный безызбыточный код.

Код с защитой по паритету (четности, нечетности). Для придания двоичному коду свойства помехозащищенности, т.е. свойства обнаружения ошибок, в кодовые комбинации необходимо вводить дополнительные разряды (избыточные, защитные).

В двоичном коде с защитой по четности в кодовые комбинации вводится один защитный разряд, содержимое которого (0 или 1) дополняет число единиц в основных разрядах до четного.

При приеме сообщения бракуются (т.е. признаются ложными) все комбинации, содержащие нечетное число единиц.

В табл. 49.1 приведены все рабочие кодовые комбинации двоичного кода с защитой по четности при числе информационных разрядов n_и = 3.

В той же таблице для сравнения приведены все кодовые комбинации двоичного безызбыточного кода с n = 3.

Таблица 49.1

Кодовые комбинации Vi	Безызбыточный двоичный код	Двоичный код с защитой по четности
V0	000	000 0
V1	001	001 1
V2	010	010 1
V3	011	011 0
V4	100	100 1
V5	101	101 0
V6	110	110 0
V7	111	111 1

Мощность кода с защитой по четности

где n — общее число разрядов кода.

Коэффициент избыточности

(49.18)

Минимальное кодовое расстояние между рабо­чими векторами кода d_mjn = 2. Код симметричный.

Распределение рабочих кодовых векторов по кодовым расстояниям

,

где d_p = 2,4, 6,..., [n]; [n] — четное число, ближайшее к п.

Коэффициент ложных переходов.

В табл. 49.2

Таблица 49.2

d	1	2	3	4
	—	6	—	1
	4	6	4	1
	0	1	0	1

представлены параметры d, , и для четырехразрядного кода с защитой по четности, приведенного в табл. 49.1.

Из табл. 49.2 ясно, что код позволяет обнаружить все ошибки нечетной кратности, а при ошибках четной кратности принимается ложное сообщение.

Код с простым повторением.

Число разрядов кода увеличивается в 2 раза по сравнению с безызбыточным кодом.

Содержимое защитных разрядов повторяет содержимое информационных (рабочих) разрядов.

Ошибки обнаруживаются путем сравнения содержимого информационных и защитных разрядов.

Число разрядов кода n = n_и + n_з = 2n_и,

Мощность кода N_p = 2^n/2 .

Коэффициент избыточности

(49.18)

Код с повторением и инверсией.

Как и в коде с простым повторением, число защитных разрядов равно числу информационных разрядов, т.е. n_з = n_и.

Однако содержимое защитных разрядов совпадает с содержимым информационных разрядов лишь в случае четного числа единиц в последних.

При нечетном числе единиц в информационных разрядах содержимое защитных разрядов представляет собой инверсию содержимого информационных разрядов (табл. 49.3).

Таблица 49.3

Кодовые комбинации Vi	Безызбыточный двоичный код	Код с повторением и инверсией
V0	000	000 000
V1	001	001 110
V2	010	010 101
V3	011	011 011
V4	100	100 011
V5	101	101 101
V6	110	110 110
V7	111	111 000

Мощность кода и коэффициент избыточности такие же, как у кода с простым повторением.

Код симметричный, однако в общем виде получить не удается.

Кодовые расстояния d для одного из кодовых векторов (например, V₀) по отношению к другим рабочим кодовым векторам представлены в табл. 49.4.

Таблица 49.4

Vi	V0	V1	V2	V3	V4	V5	V6	V7
d	0	3	3	4	3	4	4	3

Для других векторов в симметричном коде расстояния d имеют те же значения.

Значения d, сведем в табл. 49.5.

Таблица 49.5

d	1	2	3	4
	0	0	4	3
	6	15	20	15
	0	0	0,2	0,2

Из табл. 49.5 ясно, что код (при n = 6) позволяет обнаруживать все ошибки кратностью 1, 2, 5, 6.

При кратностях ошибки 3 и 4 вероятность получения ложных сообщений составляет 20 %.

Рассматриваемый код по сравнению с кодом с простым по­вторением является более помехоустойчивым, так как его минимальное кодовое расстояние больше.

В рассмотренном примере d_min = 3.