6.1. Алгоритм решения неравенств методом интервалов

1. Ввести функцию f(x), f(x) непрерывна на D(f).

2. Найти D(f).

3. Нули функции: f(x) = 0.

4. Нанести точки из D(f) и нули функции на числовую ось, f(x) сохраняет определенный знак на каждом из интервалов.

5. Определить знак в каждом интервале и записать ответ.

6.2. Примеры выполнения заданий.

Пример 1 (вариант 1 №1)

Решите неравенство

1. 

2. −1

3. x = 0, .

+ _ + _

0 1

f(2) =

5. 

Пример 2 (вариант 28 №1)

Решите неравенство

Решение

1. дробно-рациональная функция.

f(x) непрерывна на D(f).

2. D(f): x .

3. Нули функции:

=8;

= .

_ + _ +

4)

-2 -

f(0) =

5)

Ответ:

Пример 3 (вариант 94 №1)

Найдите область определения функции

y = .

Решение

1. f(x)= - дробно-рациональная функция; f(x) непрерывна на D(f).

2. x – 3 x

3. Нули: x = .

_ + _

3 x

f (4)<0;

x

Ответ:

Пример 4 (4.127)

Решите неравенство

1. f (x)= непрерывна на D(f).

2. D(f):

3. Нули: 3x – 4 = 0, x =

_ + _

0 1

) =

.

Ответ: .

7. Производная

7.1. Нахождение производной и ее значения в данной точке

Для нахождения производной функции необходимо воспользоваться:

- таблицей производных;

- правилом нахождения производной сложной функции;

- основными формулами.

Примеры выполнения заданий

Пример 1 (вариант 52 №5)

Найдите значение производной функции

f (x) = 4 при

Решение

f ^/(x) =

f ^/(

Ответ:

Пример 2 (вариант 53 №5)

Найдите производную функции

Решение

f ^/(x)=

Ответ:

Пример 3 (4.164)

Найдите значение производной функции

y = в точке x₀ = 1.

Решение

= 1.

Ответ: 1.

Пример 4 (4.160)

Найдите значение производной функции

Решение

Ответ:

7.2. Физический смысл производной

Примеры выполнения заданий

Пример 1 (вариант 84 №5)

Тело движется по прямой так, что расстояние S до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону

s(t)=4+3t-0,5t² (м),

где время движения в секундах. Через сколько секунд после начала движения тело остановится?

Решение

Ответ: через 3 с после начала движения тело остановиться.

Пример 2 (вариант 44 №5)

Тело движется по прямой так, что расстояние s до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону s(t) = t³ – 3t + 4 (м), где t – время движения в секундах. Найдите скорость движения тела через 3 секунды после начала движения.

Решение

v (t) = s ^/(t) = 3t² - 3;

v(3) = 3

Ответ: .

7.3. Геометрический смысл производной

Значение производной функции в точке x₀ равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Уравнение касательной задается формулой

y= f(x₀) + f ^/(x₀)(x - x₀),

f ^/(x₀) = k = tg .

Примеры выполнения заданий

Пример 1 (вариант 23 №5)

Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции f(x) = в его точке с координатой .

Решение

f(x) =4

k = f ^/(x₀);

f ^/(x)=

f ^/(- )=

k =

Ответ:

Пример 2 (вариант 31 №5)

Дана функция f(x)= Найдите координаты точки ее графика, в которой угловой коэффициент касательной к нему равен -5.

Решение

f(x)= ;

f ^/(x₀) = k;

f ^/(x)= 4 – 6x;

f ^/(x₀)= 4 – 6x₀;

4 – 6x₀ = -5; 6x₀ = 9; x₀ = = 1,5.

y₀ = f (x₀) = f (1,5) = 5 + 4 5 + 6 – 6,75 = 4,25.

Ответ: (1,5; 4,25).

Пример 3 (вариант 40 №5)

К графику функции f(x)= проведена касательная с угловым коэффициентом -9. Найдите координаты точки касания.

Решение

f(x)=

f ^/(x) = 7 – 8x;

f ^/(x₀)= 7 – 8x₀;

f ^/(x₀) = k;

7 – 8x₀ = - 9;

8x₀ = 16; x₀ = 2.

y₀ = f (x₀) = f (2) = 3 + 14 – 16 = 1.

Ответ: (2; 1).