Тема 2. Линейные пространства.

1. Аксиомы линейного пространства. Примеры линейных пространств.

Пусть – множество элементов , а – поле действительных или комплексных чисел: или . (Какие именно объекты являются элементами множества , нас сейчас не интересует. Определение поля см. в [3,4].) Введем в две операции: сложение его элементов и умножение элементов на числа из . Это значит, что для любых определен элемент , а для любых и определен элемент . Потребуем, чтобы две введенные операции удовлетворяли следующим аксиомам:

1. для любых .

2. Для любых

3. Существует такой элемент , что для любого ( называется нулевым элементом).

4. Для любого существует такой элемент , что ( называется противоположным к элементом).

5. для любого (здесь ).

6. Для любых ,.

7. для любых и _.

8. Для любых и .

(Обратите внимание на то, что – сложение чисел, а –сложение элементов множества ; – умножение чисел, а – умножение элемента на число . Разные по смыслу операции обозначены одинаковым образом. Это не приведет к недоразумению. Точно так же будем писать и .)

Определение. Множество называется линейным пространством над полем , если операции сложения его элементов и умножения их на числа удовлетворяют аксиомам 1.– 8. Если , то называется действительным линейным пространством; если , то называется комплексным линейным пространством.

Примеры линейных пространств.

1. – множество всех векторов-строк , . Операции сложения элементов множества и умножения их на числа были введены в теме 1. – действительное линейное пространство.

2. – множество всех векторов-строк , . Операции над элементами заданы как в теме 1. – комплексное линейное пространство.

3. – множество всех -матриц с элементами , где или . Операции над элементами – как в теме 1. Обозначение: .

4. – множество всех бесконечных числовых последовательностей , где все . Операции над элементами производятся покомпонентно:

, ,

. .

5. – множество всех ограниченных бесконечных числовых последовательностей , . Это значит, что . Операции введены как в предыдущем примере. . Очевидно, что , но .

6. – нулевое пространство: его единственный элемент обозначим через . Операции: для любого . Если , то – действительное линейное пространство; если , то – комплексное линейное пространство.

7. – множество всех векторов-строк , но в отличие от примера 2 ; операции производятся покомпонентно. – действительное линейное пространство.

8. – множество всех многочленов степени не выше : означает, что , , а все коэффициенты , причем не исключается случай . Операции и понимаем как операции над функциями: и для всех . .

9. – множество всех многочленов любой степени.

10. – множество всех функций с областью определения . означает, что .

11. – множество всех геометрических векторов (направленных отрезков). Будем считать их свободными векторами, т.е. точка приложения такого вектора может быть выбрана произвольно. Два вектора считаются равными в том и только в том случае, если они параллельны или лежат на одной прямой, имеют равные длины и направлены в одну сторону. Любую геометрическую точку можно считать нулевым вектором: его начало и конец совпадают. Сложение векторов производят по известному правилу параллелограмма, а умножение вектора на число – это растяжение его в раз и переворот в противоположную сторону, если . Наряду с описанным множеством свободных векторов можно ввести множество всех векторов, имеющих одну и ту же фиксированную точку приложения; теперь только ее следует считать нулевым вектором. Очевидно, что линейные пространства направленных отрезков можно построить на прямой линии, на плоскости, в пространстве.

Задача. Проверьте, что во всех приведенных примерах выполнены аксиомы 1. – 8.

Контрпримеры.

1. – множество всех векторов-строк с операциями , , . Выполнены все аксиомы, кроме аксиомы 7: , но

.

не является линейным пространством.

2. – множество всех многочленов одной и той же степени : , где . Если у многочленов и из множества коэффициенты при равны по абсолютной величине, но отличаются знаками, то многочлен , поскольку его степень меньше . не является линейным пространством.

Утверждение 1. Пусть или . В любом линейном пространстве над полем существует только один нулевой элемент. Он равен произведению , где , а – любой элемент множества _. В любом линейном пространстве над полем для каждого существует только один противоположный элемент . Он равен произведению . (Докажите самостоятельно.)