15. Дискретизация (квантование по времени). Частота дискретизации. Равномерная и неравномерная дискретизация. Выбор частоты дискретизации.

Для обработки сигналов поступающих от различных объектов необходимо представление сигналов в такой форме, чтобы из было удобно обрабатывать с помощью цифровых вычислительных устройств. Преобразование непрерывного сигнала в дискретный осуществляется тремя способами:

- дискретизация по времени;- квантование по уровню;- квантование во времени и по уровню дискретизация по времени: Представление непрерывного сигнал в виде конечной последовательности отсчетов, значения каждого из которых совпадают со значением сигнала.

y=X(t), t є [a,b]

Квантование по времени:

М омент времени t_i выбирается из соображения оперативности обработки сигнала, синхронности с устройством управления, скоростью изменения самого сигнала.

Δt_i – период квантования, дискретизация. Если Δt_i=const, то это квантование с постоянным шагом, если Δt_i – изменяется,

то – адаптированная дискретизация. Δt_i=t_i+1- t_i.

f_д = 1/Δt_i – частота дискретизации.

С точки зрения принятия решения о состоянии объекта для управления этим объектом, необходимо обеспечивать поступление информации о состоянии объекта, при этом периодичность поступления информации должна быть не менее интервалов времени управления: Δt_i <= Δt_упр.

Если система управления работает синхронно с изменением состояния объекта, тогда Δt_i= Δt_упр.

Если система управления менее динамична по сравнению с объектом, тогда Δt_i << Δt_упр. При этом необходима искусственная синхронизация системы управления. Если состояние объекта критично, то применяют буферизацию (накопление сведений от объекте). Если состояние объекта не критично по отношению к объекту, тогда Δt_i можно снизить до значения Δt_упр.

Выбор шага квантования необходимо осуществлять из расчета требуемой точности последующего восстановления непрерывного сигнала, описывающего состояние объекта. Восстановление непрерывной функции по конечному числу ее отсчетов неизбежно приводи к ошибке, погрешности, зависящей от частоты квантования, от количества отсчетов на некотором интервале времени, от выбранного способа интерполяции.

Для восстановления непрерывной функции по конечному числу ее отсчетов с достаточно высокой точностью решают задачу предельной дискретизации.

Теорема Котельникова: определение частоты квантования для функции с ограниченным спектром.

Непрерывная функция времени, которая не содержит частот в спектре выше некоторой частоты F_в, полностью определяется конечным числом мгновенных значений x(k,Δt), точек отстоящих друг от друга на интервал времени Δt<=1/2F_в.

Теорема Котельникова позволяет представить любую функцию x(t) в виде суммы бесконечного ряда: , φ_k(t) – функция Котельникова. , где ω_в связана с F_в: ω_в=2π F_в. Sinx/x - для нее φ_k(t)=1. Т – длительность временного интервала, на котором происходит замена функции на множество отсчетов. N=T/Δt – количество отсчетов (число степеней свободы восстанавливания функции).

, где - среднеквадратическая ошибка дискретизации; - ошибка связанная с ограничением спектра сигнала частотой ω_в. При дискретизации спектральная функция получаемого сигнала будет периодической функцией, имеющей лепестковую структуру. Важным условием является непересечение «соседних» спектральных составляющих, что обеспечиваеися при соблюдении условий теоремы Котельникова.