Задача № 4 Расчет балки при изгибе

Для заданной стальной балки (рисунок 4) требуется:

1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

2. Подобрать из условия прочности двутавровое, круглое и прямоугольное сечение (приняв для прямоугольного сечения отношение высоты к ширине равное двум) и сравнить их по экономичности.

Для построения эпюр можно использовать два метода: метод сечений или метод характерных точек.

Указание: если W_x превысит наибольше значение по сортаменту, то следует принять два двутавра.

Исходные данные:

1. 

2. 

3. 

4.  .

5. 

Задача № 5 Расчет сжатой стойки на устойчивость

Для стальной стойки, сжимаемой силой F, поперечное сечение которой составлено из двух швеллеров (рисунок 5) таким образом, что (равноустойчивая стойка) требуется:

1. Из условия устойчивости стойки определить номер швеллера при допускаемом напряжении

2. Найти критическую силу и коэффициент запаса устойчивости.

3. Из условия равноустойчивости определить размер с поперечного сечения.

Исходные данные:

1. Номер схемы N_сх определяется следующим образом:

при

при

при

при

при

2. 

3. 

Рисунок 4 − Схемы стальных балок

Рисунок 5 − Схемы к расчету сжатых стоек на устойчивость

Примеры решения контрольных задач Пример № 1

Для ступенчатого бруса (рисунок 6) необходимо:

1. Определить продольные силы в поперечных сечениях и построить эпюру.

2. Определить нормальные напряжения в поперечных сечениях и построить их эпюру.

3. Определить опасное сечение и указать, выдержит ли брус на прочность, если расчетное напряжение на сжатие и растяжение .

4. Определить нормальные и касательные напряжения в наклонной площадке, расположенной под углом в опасном сечении.

5. Определить перемещения сечений и построить эпюру.

Данные для расчета: F₁ = 100 кН, F₂ = 50 кН, F₃ = 150 кН, А₁ = 6 см², А₂ = 7,2 см², А₃ = 8,4 см², l₁ = 1 м, l₂ = 0,6 м, l₃ = 0,5 м, l₄ = 0,4 м, l₅ = 0,7 м, Е = 2 10⁵ МПа.

Решение

Ступенчатый брус необходимо разбить на отдельные участки. Отсчет участков производится от свободного конца для того, чтобы не определять реакцию в заделке. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы или меняется площадь. Первый участок будет между точками В и С, так как в точке С меняется площадь поперечного сечения. Брус от точки С до точки Е имеет постоянное сечение, но в точке D приложена сила F₂ , поэтому от точки С до D будет второй участок, а от D до Е – третий. В точке Е меняется площадь сечения бруса, а в точке М приложена сила F₃, поэтому четвертый участок – от точки Е до М, пятый – от М до Р. При определении внутренних усилий пользуются методом сечений. Продольная сила N равна сумме внешних сил, действующих на правую от рассматриваемого сечения часть бруса. Силы, растягивающие брус, являются положительными, а сжимающие – отрицательными.

Рассмотрим сечение 1-1. На правую часть бруса действует только одна сила F₁, являющаяся растягивающей. Следовательно, продольная сила N₁ будет положительной.

N₁ = F₁= 100 кH.

Рассмотрим сечение 2-2. На правую часть бруса действует только одна сила F₁:

N₂ = F₁ = 100 кH.

Рисунок 6 − Схема бруса и эпюры внутренних усилий

Сечение 3-3. На правую часть действуют силы F₁ и F₂, причем сила F₂ является сжимающей, следовательно, должна браться со знаком «минус»:

N₃ = F₁ – F₂= 100 – 50 = 50 кН.

Сечение 4-4. Действуют те же силы F₁ и F₂:

N₄ = F₁ – F₂ = 50 кН.

Сечение 5-5. На правую часть действуют три силы F₁, F₂, F₃, причем сила F₃ – сжимающая:

N₅ = F₁ – F₂ – F₃= 100 – 50 – 150 = –100 кН.

Определив значения внутренних усилий на каждом участке, строим эпюру продольных сил N. Положительные значения откладываем сверху, отрицательные – снизу. Поскольку на участках продольная сила имеет постоянное значение, эпюра N будет представлять собой линии, параллельные оси бруса.

Проверим правильность построения эпюры. В точках приложения внешних сил эпюра N должна делать скачок на величину этих сил. В точке D приложена сила F₂ и на эпюре продольной силы N имеется скачок на величину 50 кН, в точке М соответственно на 150 кН. Нормальные напряжения в поперечном сечении находят по формуле

 =  ;

на первом участке:

 ^I =  = 138,910⁶ Па =138,9 МПа;

на втором участке:

 ^II =  = 119,110⁶ Па =119,1 МПа;

на третьем участке:

 ^III =  = 59,510⁶ Па =59,5 МПа;

на четвертом участке:

 ^IV =  = 83,310⁶ Па =83,3 МПа;

на пятом участке:

 ^V =  = – 166,710⁶ Па = –166,7 МПа.

Строим эпюру нормальных напряжений. Положительные значения откладываем сверху, отрицательные – снизу от оси. Так как напряжение на участке постоянно, эпюра изображается горизонтальными линиями.

Поскольку допускаемое напряжение одинаково на растяжение и сжатие, на эпюре  следует найти максимальное значение напряжения без учета знака. Опасное сечение будет на пятом участке, где _max = 166,7 МПа.

Условие прочности имеет вид:

_max ≤ [].

В данном случае действующее на пятом участке напряжение превосходит допускаемое _max = 166,7 МПа  [] = 160 МПа. Но превышение до 5% считается несущественным, и полагают, что прочность в таком случае обеспечена. Определим процент превышения:

Условие прочности обеспечено.

Нормальные напряжения в наклонной площадке определяют по формуле:

 =cos²  = –166,7cos²60^o = –41,7 МПа.

касательные:

 =1/2 sin2  = 1/2 (–166,7) sin120° = –72,2 МПа.

Величины деформаций каждого участка определяют по формуле:

l =  .

первого участка:

l₁=

второго участка:

l₂=

третьего участка:

l₃=

четвертого участка:

l₄=

пятого участка:

l₅=

Знак «минус» указывает на то, что пятый участок сожмется.

Строим эпюру перемещений. В сечении Р перемещения отсутствуют.

Сечение М сместится относительно Р на величину деформации V участка.

_м = l₅ = –0,58 мм.

Сечение Е относительно М сместится на величину l₄.

_Е = _М + l₄ = –0,58 мм + 0,17 мм = –0,41 мм.

Сечение D сместится относительно Е на l₃.

_Д = _Е + l₃ = –0,41 мм = –0,416 + 0,143 = –0,26 мм.

Сечение С сместится относительно D на l₂.

_С = _Д + l₂ = –0,26 + 0,36 = 0,1 мм.

Сечение В сместится относительно С на l₁.

_В = _С + l₁ = 0,1 + 0,69 = 0,79 мм.

На эпюре откладываем соответствующие значения перемещений и соединяем их прямыми линиями.