88. Побудова довірчих інтервалів для середнього, частки, коефіцієнту кореляції.

Для частки: якщо з нескінченої генер. сук-сті зроблена проста вибірка обсягу n і у цій вибірці частка об’єктів із властивістю х, що нас цікавить, становить р, то за умови що N∙Р>5 (тобто э принаймні 6 об’єктів що мають властивість Х) та n(1-p)˃5 (тобто є принаймні 6 об’єктів що не мають властивість х) довірчий інтервал для частки об’єктів з властивістю x у генеральній сук-сті обчислюється за формулою:

р±z p*(1-p)/n

де z – критичне значення нормального розподілу з параметрами (0,1) для необхідного значення довірчої ймовірності.

Ширина довірчого інтервалу є тим більшою чим більша довірча ймовірність. Інтервал для довірчої ймовірності 0.99 включає в себе аналогічний інтервал для довірчої ймовірності 0.95. Ширина довірчого інтервалу є тим меншою чим більший обсяг вибірки.

Для середнього: якщо з нескінченної генер. сукупності зроблена проста випадкова вибірка обсягу n і для цієї вибірки обчислені середнє Х_В та стандартне відхилення S_b, то довірчий інтервал для генер. середнього _Xr має вигляд

Х_В+- t_n-1 S_b / корінь з n,

де t_n-1 є критичним значенням розподілу Стьюдента з (n-1) ступенями волі для обраного значення довірчої ймовірності. Якщо обсяг вибірки є досить великим (зокрема більше ніж 300) то будуючи довірчий інтервал для середнього замість критичного значення розподілу Стьюдента можна використовувати критичні значення нормального розподілу. Значення виразу S_b / корінь з n називається стандартною помилкою середнього.

Для значущого коефіцієнта кореляції r природно знайти довірчий інтервал (інтервальну оцінку), який з заданою надійністю γ=1–α містить невідомий генеральний коефіцієнт кореляції. Для побудови такого інтервалу необхідно знати розподіл вибіркового коефіцієнту кореляції, яке при ρ≠0 несиметричне та дуже повільно (зі збільшенням n) збігається до нормального розподілу. тому використовують спеціально підібрані функції від r. Частіше за інших використовують z-перетворення Фішера:

Розподіл z вже при невеликих n є наближено нормальним з математичним сподіванням:

та дисперсією

Тому спочатку будують довірчий інтервал для M(z):

де - нормоване відхилення z, що визначається за допомогою функції Лапласа:

При визначенні меж довірчого інтервалу для ρ, тобто для переходу від z до ρ, існує спеціальна таблиця, якщо ж таблиці під рукою нема – можна скористатися формулою:

Якщо коефіцієнт кореляції значущий, то коефіцієнти регресії також значно відрізняються від 0.

89. Парна та множинна лінійна регресія: крива, загальний вигляд рівняння, інтерпретація.

У випадку одного фактору маємо справу iз парною лiнiйною регресiєю. Для залежної змiнної У та одного фактору Х рiвняння парної лiнiйної регресiї має вигляд: у =bх + а, де b – коефiцiент регресiї, а коефiцiснт а – зсув (константа рiвняння). У геометричному виразi рiвняння парної регресiї описус пряму, яка характеризусться тангенсом кута нахилу, що дорiвнює b та вiдбивас на осi У відрізок, довжиною а. Ця пряма проводиться так, щоб сума квадратiв вiдхилень реальних точок вiд цiєї прямої була мiнiмальною (метод найменших квадратiв). Зсув а, як правило, не iнтерпретують. Коефiцiєнт регресiї b показує, на скiльки змiниться середнє значения залежної змiнної при змiнi фактору х на одну одиницю. Якщо позначити коефiцiснт кореляцiї мiж фактором х та залежною змiнною у через r, то показник r² називасться коефiцiєнтом детермiнацiї рiвняння парної регресiї й iнтерпретусться як частка дисперсiї залежної змiнної у, що пояснюсться фактором х. Чим бiльшим є значения r², тим краще рiвняння пояснює (або передбачає) поведiнку залежної змiнної у залежно вiд фактору х. У випадку, якщо кiлькiсть факторiв бiльше нiж один, маємо справу iз множинною регресiєю, яка є узагальненням регресiї парної. Рiвняння множинної лiнiйної регресiї таке: у=b₁х₁+b₂х₂+…. +b_nх_n+а, де b₁ – коефiцiєнти регресiї, а а – зсув (константа рiвняння). Пiд час побудови рiвняння множинної регресiї також застосовують МНК (метод найменших квадратiв). Зсув не iнтерпретують, а коефiцiєнт регресiї b_і , показує, на скiльки змiниться середнє значення залежної змiнної у при змiнi фактору х_і на одиницю та зафiксованих (незмiнних) значеннях iнших факторiв. Або ж коефiцiєнт регресiї b_і iнтерпретується як сила впливу фактору х_і на середнє значення залежної змiнної у. Інтерпретусться не тiльки значения, а й знак коефiцiєнта регресiї. Знак плюс бiля коефiцiєнта регресiї b_і, свiдчить про позитивний вплив фактору х_і на середнє значения залежної змiнної у (збiльшення значення фактору приводить до збiльшення значення залежної змiнної, зменшення значення фактору, вiдповiдно, до зменшення залежної змiнної), а знак мінус – про негативний вплив (збiльшення фактору веде до зменшення залежно змiнної, а зменшення фактору – до збiльшення залежної змiнної).