Лабораторна робота № 9

Тема: Визначення математичного сподівання, дисперсії, СКВ та похибок сигналів давача інформації

Мета роботи : Засвоєння методик розрахунку статичтисних інформаційних характеристик сигналів від вимірювальних перетворювачів ( давачів) за допомогою ЕОМ, набуття практичних навичок розрахунку та поглиблення знань з дискретної обробки інформації від джерел первинної інформації.

Теоретичні відомості

Для формування професіональних підходів до розв’язання задач автоматизації вибирають схеми узгодження вихідного сигналу перетворювача інформації із виходом системи обробки інформації на основі розгляду та вибору різних варіантів цих схем.

Розрахунки інформаційних характеристик сигналів від давачів проводятися в середовищі MathCad або Microsoft Excel.

По своїй фізичній природі вимірювані величини можуть бути детермінованими і випадковими.

Дискретною називають випадкову величину, окремі значення якої можна перенумерувати.

Прикладами дискретних випадкових величин є число виробів, що відмовили в процесі випробувань, кількість бракованих деталей в партії і т.д.

Безперервною називають випадкову величину, можливі значення якої безперервно заповнюють деякий проміжок (величин: відхилення розміру виготовленої деталі від номіналу, похибка вимірювання, величина відхилення форми деталі, висота мікронерівностей в даній точці поверхні і т.д).Випадкова величина не може характеризуватися якимсь одним значенням. Для неї необхідно обов'язково вказати множину можливих значень і характеристики ймовірності, задані на цій множині.

Для характеристики частоти появи різних значень випадкової величини X (у нашому випадку похибки приладу або результату вимірювання з обчисленнями її систематичної складової) на основі теорії ймовірності використовуємо закони розподілу ймовірностей різних значень цієї величини. При цьому розрізняють два види опису законів розподілу: інтегральний і диференціальний.

Інтегральним законом, або функцією розподілу ймовірностей F (X) випадкової величини X, називають функцію, значення якої для кожного x є ймовірністю події, що полягає в тому, що випадкова величина X приймає значення, менші х, тобто функцію F (х) = Ρ [Χ < x]. Це зростаюча функція х, що змінюється від F (-∞) = 0 до F (+∞) = 1. Вона існує для усіх випадкових величин, як дискретних, так і безперервних.

Для випадкової величини з безперервною і диференційованою функцією розподілу F(x) можна знайти диференціальний закон розподілу ймовірностей, що виражається як похідна від F (x), тобто як p(x) = F'(x). Ця залежність називається кривою щільності розподілу ймовірностей. Вона завжди від’ємна і підлягає умові нормування у виді

,

що безпосередньо випливає з властивостей інтегральної функції розподілу F (х). Наведемо більш практичну реалізацію методу ймовірнісного опису похибок.

Питаннями статистичних методів визначення ймовірності займасться математична статистика. Ймовірність будь-якого значення вимірюваної величини нескінченно мала. Щоб виявити розподіл ймовірностей, розглядають ряд інтервалів значень величини і підраховують частоти від попадання значень величини на кожний інтервал, отримуючи, таким чином, статистичний ряд.

Інтервал	x1 – x2	x3 – x3	x3 – x4	x4 – x5
Частота mi	m1	m2	m3	m4

Рис. 8.1.

Статистичний ряд графічно подається у вигляді гістограми (рис. 7 ). Площі прямокутників гістограми дорівнюють частотам відповідних інтервалів. Повна площа гістограми дорівнює одиниці.

При інтегруванні гістограма приймає вигляд плавної кривої(рис. 7 ),її називають графіком щільності розподілу ймовірностей, а рівняння, що описує його, - законом розподілу випадкової величини. Ордината кривої (наприклад, ордината Р_к в точщ Х_к називається щільністю ймовірності в даній точці. Площа під всією кривою дорівнює ймовірності появи будь-якого з можливих значень х_і, тобто 1.

Нехай є тільки два прилади для вимірювання довжини того ж предмета - цифровий мікрометр і аналоговий мікрометр, ціна поділки яких 0.01 мм. Виміряємо 100 раз одним і другим приладом даний предмет. Результати цих вимірювань занесемо в таку таблицю:

Таблиця 8.1- результати вимірювань

Кількість однакових результатів	Хі цифрового ЗВТ	Р(Хі)	F(Yі)
2	93.11	0.02	0.02
5	93.12	0.05	0.07
10	93.13	0.10	0.17
20	93.14	0.20	0.37
24	93.15	0.24	0.61
19	93.16	0.19	0.80
11	93.17	0.11	0.91
5	93.18	0.05	0.96
3	93.19	0.03	0.99
1	93.2	0.01	1.00
Z=100=n

де :

(8.1)

На основі отриманих результатів побудуємо такі графіки: Р(Х_і) і F(Х_i) в залежності від найменшого і найбільшого виміряного значення.

Рисунок 8.2 -Графік розподілу ймовірностей

1 - полігон розподілу ймовірностей;

2 - густина розподілу ймовірностей;

Рисунок 8.3-Графік функції розподілу ймовірностей.

Графік залежності F(Х_і) називають густиною розподілу ймовірностей, фізичний зміст якої є: величина Р(Х_і) характеризує, яка доля від всієї кількості вимірювань буде відповідати значенням X.

Графік залежності Р(Х_і) називають функцією розподілу ймовірностей, тобто величиною, яка характеризує ймовірність того, що випадкова величина X буде знаходитись в діапазоні [ ,Х_і ].Крива 2 називається в математиці кривою Гауса, а закон розподілу ймовірностей, що описується цією кривою, називається нормальним або Гауса.

Функцією розподілу випадкової величини X називають ймовірність виконання нерівності X<x

_, (8.2)

де х — невипадковий аргумент.

Рисунок 8.4 – Графік розподілу ймовірності дискретної випадкової величини

Функція розподілу F(x) повинна бути зростаючою функцією свого аргументу, тобто F(-∞)= 0 і F(+∞) = 1.

На рис. 8.5 приведені графіки функції розподілу F(x) для дискретної (8.2, а) і безперервної (8.2, б) випадкових величин.

Рис8.5 – Функції розподілу дискретної (а) і безперервної (б) випадкових величин

Густиною імовірності безперервної випадкової величини називають похідну функцію розподілу

(8.3)

Густина вірогідності φ(х) володіє наступними властивостями: — ненегативна;

(8.4)

Функція розподілу F(x) виражається через густину вірогідності φ(х)

(8.5)

Функція розподілу F(x), як і ймовірність, є величина безрозмірна, а густина вірогідності має розмірність, зворотну розмірності випадкової величини.

Ймовірність попадання безперервної випадкової величини на заданий інтервал (a, b) визначається виразом

(8.6)