II. Волны

II.1. Основные положения

Волновым движением (волнами) называют распространение колебаний в среде.

Волны, в которых колебание частиц среды приходит перпендикулярно к направлению распространения волны, называют поперечными. Поперечные волны возможны только в том случае, когда изменение формы сопровождается появлением упругих возвращающих сил. Поскольку этим свойством обладают только твердые тела и поверхность жидкости, поперечные волны могут возникать только в твердых телах и на поверхности жидкостей.

Волны, в которых колебание частиц среды происходит по прямой, вдоль которой распространяется волна, называются продольными. Сдвиг частиц в этой волне происходит по линии, соединяющей их центры, т.е. вызывает изменение объема.

Поскольку возвращающие силы при изменении объема возникают в твердых телах, жидкостях и газах, продольные волны возможны во всех этих видах тел.

Непрерывное геометрическое место точек волны, колеблющихся в одинаковых фазах называют волновой поверхностью. Переднюю волновую поверхность, т.е. наиболее удаленную от источника, вызывающего волны, называют фронтом волны.

Линию, вдоль которой происходит распространение фронта волны, называют лучом.

Перемещение волновой поверхности за один период колебаний называют длиной волны.

Для поперечных волн длиной волны является кратчайшее расстояние между ближайшими выпуклостями или впадинами.

Для продольных волн длиной волны является кратчайшее расстояние между центрами соседних сгущений или разряжений частиц.

II.2. Волны напряжений в однородной упругой среде

II.2.1. Краткие теоретические предпосылки

II.2.1.1. Простое (одноосное) напряженное состояние

Рис. 13. Схема распространения волны в стержне

Пусть на торце стержня из однородного упругого материала в течение краткого отрезка времени t прилагается напряжение . Это вызовет сжатие конца стержня (Рис. 13). Весь стержень не будет сжат (слишком мало время t). Кроме сжатия некоторой части стержня его частицам в зоне сжатия будет сообщена некоторая скорость движения. Так как сжатая зона будет воздействовать на соседнюю зону стержня, в нем образуется волна напряжения, движущаяся вдоль стержня С₀ скоростью С_р.

Длина этой волны , м (31)

где

С_р – скорость распространения фронта волны в стержне, м/с;

t – продолжительность приложения напряжения к торцу стержня, с.

Скорость распространения продольной волны напряжения в стержне

, м/с и не зависит от , (32)

где

Е – модуль упругости при сжатии стержня в простом напряженном состоянии, Па;

- плотность материала стержня, кг/м³.

Скорость распространения упругих поперечных волн напряжений в стержне

, (33)

где

G - модуль упругости при сдвиге,

где

- коэффициент Пуассона.

II.2.1.2. Объемное трехосное напряженное состояние

Скорость распространения продольной волны напряжения в породном массиве:

, ( 34)

где

Е₀ – модуль упругости при сжатии породного массива в объемном напряженном состоянии, Па;

- коэффициент Пуассона породного массива.

Упругие волны взаимодействуют друг с другом (складываются и вычитаются) по алгебраическому закону. После взаимодействия упругие волны принимают свою первоначальную форму.

II.2.2. Пример

Задача 1. В забое проходимого по кварциту квершлага произведен взрыв заряда ВВ.

Определить:

Сколько времени потребуется продольной волне, вызванной взрывом, чтобы достичь полевого штрека, расположенного на расстоянии L от места взрыва.

Решение. 1. Расчетная схема приведена на рис. 14.

Рис. 14. Расчетная схема

1 – квершлаг;

2 – полевой штрек;

2. Расчетные формулы

, с (35)

где

t – время, с;

L – расстояние, м;

С_р0 – скорость продольной волны в породном массиве, м/с;

, м/с (36)

где

Е – динамический модуль упругости породы в простом напряженном состоянии, Па;

- динамический коэффициент Пуассона;

- плотность породы, кг/м³.

3. Расчетные данные

L = 750 м;

Е = 8,8·10¹⁰Па;

= 0,07;

= 2600 кг/м³.

4. Результаты расчета

,

.

II.3. Волны напряжений в неоднородной упругой среде

II.3.1. Краткие теоретические предпосылки

Рис. 15. Расчетная схема

0 – 0 – граница раздела сред

1 – падающая волна

2 – отраженная волна

3 – преломленная волна

На границе раздела сред 0 – 0 (Рис. 15) происходит отражение и преломление волн напряжений.

Пусть - напряжение в падающей волне;

- напряжение в отраженной волне;

- напряжение в преломленной волне.

Напряжение в отраженной волне рассчитывается по формуле:

, МПа (37)

Напряжение в преломленной волне рассчитывается по формуле:

, МПа (38)

где

. (39)

Произведение С_р называется характеристическим импедансом (акустической жесткостью) среды. При отраженная волна будет иметь знак противоположный знаку падающей волны (если падающая волна сжатия, то отраженная волна – растяжения и наоборот). Преломленная и падающая волны – с одинаковым знаком.

При отраженная волна будет иметь тот же знак что и падающая. Преломленная волна напряжений имеет тот же знак что и падающая волна.

При отраженная и падающая волны одинаковы по величине и знаку. Знаки преломленной и падающей волн будут одинаковыми. Напряжение в преломленной волне будет в двое больше, чем в падающей.

Длина отраженной и падающей волн будут одинаковы (в одной среде). Длина преломленной и падающей волн будут различной (в разных средах).

При отраженная волна по величине будет ровна падающей, но с противоположным знаком. Преломленной волны напряжений не будет.

II.3.2. Примеры

Задача 1. Продольная волна сжатия с напряжением проходит через кварцит и сталкивается под прямым углом с известняком.

Определить:

1. Напряжения в отраженной и преломленной волнах при следующих условиях:

- динамический модуль упругости в одноосном напряженном состоянии для кварцита Е₁ = 8,8·10¹⁰ Па, для известняка Е₂ = 2,7·10¹⁰ Па;

- плотность кварцита ;

- известняка ;

- динамический коэффициент Пуассона для кварцита , для известняка .

Решение. 1. Расчетная схема представлена на рис. 16.

2. Расчетные формулы:

Напряжение в отраженной волне:

, МПа

Напряжение в преломленной волне:

, МПа

Отношение характеристических импедансов:

;

Скорость продольных волн

(40)

3.Результаты расчета

;

;

.

Задача 2. По торцу стержня из горной породы наносится удар молотком в следующих условиях:

Длина стержня – 3,2 м;

Площадь поперечного сечения стержня – 1·10^-3 м²;

Плотность стержня – 2600 кг/м³;

Скорость продольной волны в стержне – 3000 м/с;

Временное сопротивление растяжению стержня – 6 МПа;

Масса молотка – 2 кг;

Скорость нанесения удара – 10 м/с;

Продолжительность удара – 0,001с;

Коэффициент полезного действия удара – 0,8.

Определить:

1. Произойдет ли отрыв части стержня на противоположном удару конце?

2. Если да, то какова длина оторвавшейся части?

3. Сколько частей оторвется от стержня?

Решение: 1. Расчетная схема приведена на рис. 17.

Рис. 17. Расчетная схема

На рис. 17(а) представлен момент формирования продольной волны напряжения в стержне .

На рис. 17(б) представлен момент, когда бегущая волна напряжения достигает его противоположного конца.

Происходит отражение бегущей волны напряжения, отраженная волна по величине ровна падающей, но с противоположным знаком.

На рис. 17(в) представлено сложение падающей и отраженной волн. Скорость падающей и отраженной волны одинакова (в одной среде). Поэтому встреча фронта отраженной волны и конца падающей волны произойдет в середине длины падающей волны (точка А₂). На конце стержня (точка В) суммарное напряжение будет равно нулю. Так как , а уменьшается, суммарное напряжение в направлении ВА будет нарастающее растягивающее.

2. Условие отрыва части стержня ,

где

- напряжение растяжение в отраженной волне, МПа;

- временное сопротивление стержня на растяжение, МПа.

3. Силу удара находим из формулы , (41)

где

m – масса молотка, кг;

V – скорость движения при ударе, м/с;

t – продолжительность удара, с;

откуда

. (42)

4. Напряжение сжатия в стержне от удара

(43)

где

КПД удара;

S = 10^-3 м² - площадь стержня.

5. Длина продольной волны в стержне

, (44)

где

С_р – скорость продольной волны напряжения в стержне, м/с;

t – продолжительность удара, с.

6. Напряжение растяжения в отраженной волне

(45)

; (46)

где

С_р1 и - скорость продольной волны и плотность стержня;

С_р2 и - скорость звука и плотность воздуха.

7. , следовательно, произойдет отрыв части стержня на противоположном удару конце.

8. Длину оторвавшегося края стержня находим из подобия треугольников А₂А₃В и СС₁В (Рис. 17в).

; ,

откуда

.

9. Число оторвавшихся концов стержня

куска.

10. Отраженная волга растягивающих напряжений возвратится в точку А стержня.

II.4. Волны напряжений в среде с внутренним трением (горные породы)

II.4.1. Краткие теоретические предпосылки

При распространении в горной породе волны напряжений затухают. Затухания радиальных сжимающих напряжений достаточно хорошо характеризуется зависимостью (рис. 18):

(47)

(48)

(49)

(50)

где

- коэффициент Пуассона породы.

II.4.2. Примеры

Задача 1. Взрыв в точке О (рис. 19.) вызывает в точке А напряжение сжатия .

Определить:

Напряжения сжатия в точке В если коэффициент Пуассона породы равен , расстояние ОА = а и АВ = b.

Решение. 1. Расчетная схема приведена на рис. 19.

2. Обозначим напряжение в точке О как , тогда напряжение в точке А составит:

где

r – радиус заряда, м;

;

- динамический коэффициент Пуассона породы;

Напряжение в точке В составит

.

3. Отношение

откуда ;

Пусть .

Тогда ,

Рис. 20. Система разработки

Задача 2. На руднике применяется система разработки с твердеющей закладкой очистного пространства (рис. 20). Отбойка руды ведется вертикальными шпурами, ВВ – аммонит 6ЖВ, масса зарядов в шпуре 0,25 кг. Модуль упругости руды , коэффициент Пуассона = 0,25, плотность руды = 2800 кг/м³, предел прочности на сжатие ; модуль упругости закладки ; коэффициент Пуассона =0,35, плотность закладки =1400 кг/м³ , предел прочности закладки на сжатие .

Определить:

Расстояния от закладочного массива до ближайшего шпура, обеспечивающее необходимую толщину рудной корки «b», предотвращающей разрушение закладки на границе с ранее отработанным и заложенным блоком.

Решение. 1. Расчетная схема приведена на рис. 21.

Рис. 21. Расчетная схема

А – граница отбитой руды

b=АВ – толщина рудной корки и - напряжения в точках А и В, вызванные

взрывом ВВ в точке О.

2. Напряжение сжатия в закладке

, МПа

откуда , МПа

где

- временное сопротивление закладки на сжатие, МПа.

,

где

и - скорость продольных волн напряжений в руде и закладке, м/с;

и - плотность руды и закладки, кг/м³.

.

3. В свою очередь, напряжение от взрыва заряда ВВ в точке В

где

,

n = 2 - ;

,

n = 2 - 0, 33 = 1,67.

4. Предел прочности руды на сжатие , МПа (51)

откуда , МПа.

В точке А, вызванная взрывом ВВ относительная деформация (смотри ниже «взрывы»)

, МПа (52)

откуда

, (53)

где

Q – эквивалентная масса заряда тротила, кг.

, (54)

где

Q₁ и q₁ – масса и удельная теплота взрыва аммонита 6ЖВ, кг.

q = 4186,8 Дж/кг - удельная теплота взрыва тротила,

следовательно

.

5. Из выражения ,

толщина рудной корки , м,

.

6. Расстояние от закладки до ближайшего шпура:

.

II.5. Задания для самостоятельной работы

Задача 1. Продольная волна сжатия с напряжением проходит через породу А и сталкивается под прямым углом с породой В.

Характеристики пород А и В приведены в табл. 4.

Таблица 4

Показатель	Варианты
	1	2	3
Порода А	Кварцит	Известняк	Песчаник
Напряжение	70	60	65
Плотность, кг/м3	2600	2500	2550
Модуль упругости, Па	7,8·1010	5·1010	6,5·1010
Коэффициент Пуассона	0,12	0,14	0,13
Порода В	Песчаник	Песчаник	Известняк

Определить: 1. Напряжение в отраженной и преломленной волнах.

Задача 2. По торцу стержня из горной породы находится удар молотком в условиях, приведенных в табл. 5.

Определить: 1. Произойдет ли отрыв на противоположном удару конце?

2. Если да, то какова длина оторвавшейся части? Сколько частей оторвется от стержня?

Таблица 5

Показатель	Варианты
	1	2	3
Длина стержня, L м	3,3	3,5	3,4
Площадь поперечного сечения стержня,S м2	8·10-4	10·10-4	9·10-4
Временное сопротивление стержня на расстояние, Rр, МПа	5,9	6,1	6,0
Скорость продольной волны в стержне, Ср,м	3100	3,200	3000
Масса молотка, m кг	2,2	2,5	2,3
Скорость удара, V м/с	10	11	10
Продолжительность удара, tс	0,001	0,001	0,001
К.П.Д. удара	0,85	0,90	0,95

Задача 3.

Определить: Расстояние от заложенного массива до ближайшего шпура, обеспечивающее необходимую толщину рудной корки, предотвращающей разрушение закладки на границе с ране отработанным и заложенным блоком. Исходные данные приведены в табл. 6.

Таблица 6

Показатель	Варианты
	1	2	3
Руда: плотность, кг/м3	2500	2600	2700
Прочность на сжатие, МПа	90	95	100
Модуль упругости, МПа	3,5 ·104	3,6 ·104	3,7 ·104
Коэффициент Пуассона	0,24	0,23	0,22
Закладка: плотность, кг/м3	1250	1300	1350
Прочность на сжатие, МПа	4,5	5,0	5,5
Модуль упругости, МПа	0,85 ·104	0,9 ·104	0,95 ·104
Коэффициент Пуассона	0,33	0,35	0,36
Применяемое ВВ	Аммонит 6ЖВ	Аммонит 6ЖВ	Аммонит 6ЖВ