Момент силы

• Момент силы. Рис.

Момент силы. Рис.

Момент силы, величина, характеризующая вращательный эффект силы при действии её на твёрдое тело; является одним из основных понятий механики. Различают М. с. относительно центра (точки) и относительно оси.

М. с. относительно центра О величина векторная. Его модуль M_o = Fh, где F — модуль силы, a h — плечо, т. е. длина перпендикуляра, опущенного из О на линию действия силы (см. рис.); направлен вектор M_o перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и силу, в сторону, откуда поворот, совершаемый силой, виден против хода часовой стрелки (в правой системе координат). С помощью векторного произведения М. с. выражается равенством M_o = [rF], где r — радиус-вектор, проведённый из О в точку приложения силы. Размерность М. с. — L²MT², единицы измерения — н×м, дин×см (1 н×м = 10⁷ дин×см) или кгс×м.

М. с. относительно оси величина алгебраическая, равная проекции на эту ось М. с. относительно любой точки О оси или же численной величине момента проекции Р_ху силы F на плоскость ху, перпендикулярную оси z, взятого относительно точки пересечения оси с плоскостью. Т. е.

M_z = M_o cos g = ± F_xy h₁.

Знак плюс в последнем выражении берётся, когда поворот силы F с положительного конца оси z виден против хода часовой стрелки (тоже в правой системе). М. с. относительно осей x, y, z могут также вычисляться по формулам:

M_x = yF_z — zF_y, M_y = zF_x — xF_z, M_z = xF_y — yF_x,

где F_x, F_y, F_z — проекции силы F на оси; х, у, z — координаты точки А приложения силы.

Если система сил имеет равнодействующую, то её момент вычисляется по Вариньона теореме.

Вращательный момент — Момент силы (синонимы: крутящий момент; вращательный момент; вращающий момент)  физическая величина, характеризующая вращательное действие силы на твёрдое тело. Момент силы приложенный к гаечному ключу Отношение между векторами силы, момента силы.

кинетическая энергия вращающегося тела

Кинетическая энергия – величина аддитивная. Поэтому кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек, на которые это тело можно мысленно разбить:

,

(6.4.1)

Если тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью , то линейная скорость i-й точки , R_i – расстояние до оси вращения. Следовательно,

,

(6.4.2)

Сопоставив (6.4.1) и (6.4.2), можно увидеть, что момент инерции тела I является мерой инертности при вращательном движении, так же как масса m – мера инерции при поступательном движении.        В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений – поступательного со скоростью  v_c  и вращательного с угловой скоростью ω вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции. Тогда полная кинетическая энергия этого тела

,

(6.4.3)

Здесь I_c – момент инерции относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр инерции.

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси.

Моментом инерции тела называется сумма моментов инерции всех материальных точек тела

Теоре́ма Гю́йгенса-Ште́йнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени немецкого математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса): момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела I^c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния R между осями:

где

m — масса тела,

R — расстояние между осями.

19

Работа и мощность при вращении твердого тела.

Работа и мощность при вращении твердого тела.

Найдем выражение для работы при вращении тела. Пусть сила приложена в точке , находящейся от оси на расстоянии , — угол между направлением силы и радиус-вектором . Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол точка приложения проходит путь и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

.

Модуль момента силы равен:

,

тогда получим следующую формулу для вычисления работы:

.

Таким образом, работа при вращении твердого тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

основное уравнение динамики вращательного движения

Согласно уравнению (5.8) второй закон Ньютона для вращательного движения

По определению угловое ускорение и тогда это уравнение можно

переписать следующим образом

с учетом (5.9)

или

(5.10)

Это выражение носит название основного уравнения динамики вращательного движения и формулируется следующим образом: изменение момента количества движения твердого тела , равно импульсу момента всех внешних сил, действующих на это тело.

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси — скалярная величина.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки оно также обладает моментом импульса. Наибольшую роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется.

Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) — векторная сумма всех моментов импульса относительно любой оси для замкнутой системы остается постоянной в случае равновесия системы. В соответствии с этим, момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной точки не изменяется со временем.

Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства.

Где применяется закон сохранения момента импульса?Кто из нас не восхищается   красотой движений фигуристов на льду, их стремительными вращениями и столь же стремительными переходами к медленному скольжению, сложнейшими сальто гимнастов пли прыгунов на батуте! В основе этого удивительного мастерства лежит тот же эффект, являющийся следствием закона сохранения момента импульса. Раскинув руки в стороны и заводя свободную ногу, фигурист сообщает себе медленное вращение вокруг вертикальной оси (см.рис.1). Резко «сгруппировавшись», он уменьшает момент инерции и получает приращение угловой скорости.

Если ось вращения тела является свободной (например, если тело свободно падает), то сохранение момента импульса не означает, что в инерциальнои системе отсчета сохраняется направление угловой скорости. За редким исключением мгновенная ось вращения, как говорят, прецессирует вокруг направления момента импульса тела. Это проявляется в кувыркании тела при падении. Однако у тел существуют так называемые главные оси инерции, совпадающие с осями симметрии этих тел. Вращение вокруг них является устойчивым, векторы угловой скорости и момента импульса совпадают по направлению, и никакого кувыркания пе происходит.

Если внимательно наблюдать за работой жонглера, то можно заметить, что, подбрасывая предметы, он придает им вращение. Только в этом случае булавы, тарелки, шляпы возвращаются ему в руки в том же положении, которое им было придано. Нарезное оружие дает лучшую прицельность и большую дальность, чем гладкоствольное. Выпущенный из орудия артиллерийский снаряд вращается вокруг своей продольной оси, и поэтому его полет является устойчивым.

   рис.2. рис.3.

Так же ведет себя хорошо известный всем волчок, или гироскоп (рис.2). В механике гироскопом называют любое массивное однородное тело, вращающееся вокруг оси симметрии с большой угловой скоростью. Обычно ось вращения выбирают так, чтобы момент инерции относительно этой оси был максимальным. Тогда вращение наиболее устойчиво.

Для создания свободного гироскопа в технике используют карданов подвес (рис.3). Он представляет собой две кольцевые обоймы, которые входят одна в другую и могут вращаться относительно друг друга. Точка пересечения всех трех осей 00, О'О' и О"0" совпадает с положением центра масс гироскопа С. В таком подвесе гироскоп может вращаться вокруг любой из трех взаимно перпендикулярных осей, при этом центр масс относительно подвеса будет покоиться.

Пока гироскоп неподвижен, его без особых усилии можно повернуть вокруг любой оси. Если же гироскоп привести в быстрое вращение относительно оси 00 и после этого пытаться повернуть подвес, то ось гироскопа стремится сохранить свое направление неизменным. Причина такой устойчивости вращения связана с законом сохранения момента импульса. Так как момент внешних сил мал, то он не в состоянии заметно изменить момент импульса гироскопа. Ось вращения гироскопа, с направлением которой вектор момента импульса почти совпадает, не отклоняется далеко от своего положения, а лишь дрожит, оставаясь на месте.

Это свойство гироскопа находит широкое практическое применение. Летчику, например, необходимо всегда знать положение истинной земной вертикали по отношению к положению самолета в данный момент. Обыкновенный отвес для этой цели не годится: при ускоренном движения он отклоняется от вертикали. Применяют быстро вращающиеся гироскопы на кардановом подвесе. Если ось вращения гироскопа установить так, чтобы она совпадала с земной вертикалью, то, как бы самолет ни изменял свое положение в пространстве, ось сохранит направление вертикали. Такое устройство носит название гирогоризонта.

Если гироскоп находится во вращающейся системе, то его ось устанавливается параллельно оси вращения системы. В земных условиях это проявляется в том, что ось гироскопа в конце концов устанавливается параллельно оси вращения Земли, указывая направление север — юг. В морской навигации такой гироскопический компас является совершенно незаменимым прибором.

Подобное, на первый взгляд странное поведение гироскопа тоже находится в полном согласии с уравнением моментов и законом сохранения момента импульса.

Закон сохранения момента импульса является наряду с законами сохранения энергии и импульса одним важнейших фундаментальных законов природы и, вообще говоря, не выводится из законов Ньютона. Лишь в частном случае, когда рассматривается движение но окружностям частиц или материальных точек, совокупность которых образует твердое тело, такой подход является возможным. Как и другие законы сохранения, он, согласно теореме Нётер, связан с определенным видом симметрии.