Контрольная работа №2
Вариант 11
Тема 1. Дифференциальные уравнения
1. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными:
Преобразуем его
к виду с разделенными переменными,
разделив на
:
Проинтегрируем последнее равенство:
Ответ:
- общий интеграл данного дифференциального
уравнения.
2. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Разделим обе части уравнения на х. Тогда видно, что это однородное уравнение:
.
Введем новую
функцию
или
.
Тогда
.
Подставляя в уравнение, получим
- уравнение с
разделяющимися переменными. Решим его:
- общий интеграл
данного дифференциального уравнения.
Ответ:
- общее решение уравнения
3. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Это линейное уравнение, так как неизвестная функция у(х) и ее производная входят в него в первой степени. Будем искать у(х) в виде
.
Тогда
.
Подставив в уравнение, получим:
.
Сгруппируем слагаемые:
(*)
и найдем и(х) такую, что
Последнее уравнение – с разделяющимися переменными:
.
Выберем одну из первообразных
.
Тогда v(x)
найдем так, чтобы равенство (*) выполнялось
с найденным и(х):
Следовательно,
Ответ:
- общее решение уравнения
4. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение.
Это уравнение Бернулли. Разделим его
на
:
.
Сделаем замену
.
Тогда
.
Подставив в уравнение, получим:
- линейное уравнение
относительно z(x).
Решим его так же, как в задаче 3:
.
Тогда
.
Подставив в уравнение, получим:
.
Сгруппируем слагаемые:
(*)
и найдем и(х) такую, что
Последнее уравнение – с разделяющимися переменными:
,
.
Выберем одну из первообразных
и v(x)
найдем так, чтобы равенство (*) выполнялось
с найденным и(х):
Из последней цепочки равенств видно, что
.
Отсюда
,
и
Но тогда
,
а
Ответ:
5. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Это уравнение вида
,
где
,
.
Так как
,
то есть
,
то данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Оно может быть записано в виде
,
где
(**)
Но тогда общим интегралом этого уравнения будет равенство
.
Найдем функцию F(x,y), используя условия (**):
.
Для того, чтобы это была одна и та же
функция, нужно
,
где С – произвольная постоянная.
Ответ:
- общий интеграл данного уравнения.
6. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение.
Это уравнение второго порядка, не
содержащее в записи переменную х.
Оно допускает понижение порядка в
предположении, что
,
где р
– некоторая функция, а у(х)
– искомое решение. При этом
.
Уравнение после замены примет вид
- уравнение с
разделяющимися переменными. Решим его.
или
или
Таким образом,
или
.
Решение первого
из этих уравнений
.
Второе из них – уравнение с разделяющимися
переменными. Решим его:
Ответ:
;
,
где
- произвольные постоянные.
7. Найти решение задачи Коши
Решение.
Уравнение допускает понижение порядка.
Обозначим
.
Тогда
и уравнение примет вид:
Это линейное уравнение 1-го порядка. Решим его, как задачу 3. Будем искать р(х) в виде
.
Тогда
.
Подставив в уравнение, получим:
.
Сгруппируем слагаемые:
(*)
и найдем и(х) такую, что
Последнее уравнение – с разделяющимися переменными:
.
Выберем одну из первообразных
.
Тогда v(x)
найдем так, чтобы равенство (*) выполнялось
с найденным и(х):
Следовательно,
Исключим произвольную
постоянную с,
используя начальное условие. Для этого
подставим в последнее равенство
и
.
Получим
Итак,
.
Тогда
Остается найти
значение
,
используя начальное условие
при
:
Отсюда
Ответ:
