Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Національний університет водного господарства та природокористування Кафедра електротехніки та автоматики

Розрахунково-графічна робота

з дисципліни :

«Теорія автоматичного управління спеціальними системами»

Виконав:

студент 3-го курсу

групи АУТП-1

Шляховчук Віталій

Перевірив :

Христюк А.О.

Шифр залікової книжки 75

Рівне 2011

Задача 1

Складається з розв'язку однієї задачі трьома способами та написання висновка про відповідність отриманих результатів в кожному з способів між собою.

Потрібно:

1) побудувати фазовий портрет системи на підставі диференціальних рівнянь;

2) побудувати фазовий портрет системи методом ізоклін;

3. побудувати фазовий портрет системи за допомогою модуля Simulink системи MatLab;

4. написати висновок про відповідність отриманих різними методами фазових портретів, та про можливості застосування кожного з методів побудови.

Рис.1 Структурна схема САУ

Параметри ланок та початкові умови (х1; х2) вибираємо з табл.1 та табл.2.

Таблиця 1

Остання цифра шифру	К	Т1	Т2
5	1,5	1	0,15

Таблиця 2

Остання цифра суми двох останніх цифр шифру	В	а	Початкові умови
			х1	х2
2	3	2,5	0	0

Розвязок:

1. Побудова фазового портрету системи на підставі диференціальних рівнянь

Згідно структурної схеми запишемо рівняння розімкнутої САУ:

.

Це рівняння в операторній формі матиме вигляд:

.

Перейшовши до оригіналів отримаємо:

.

Статична характеристика нелінійного елемента описується наступним рівнянням:

Так як функція U( ) приймає значення +В та -В тому матимемо:

В нашому випадку нелінійність являє собою два відрізка прямих ліній, яким відповідають умови (1) і (2).

Запишемо ці рівняння в 1-ій нормальній формі Коші:

Поділимо друге рівняння системи на перше

Після цього треба розділити змінні х1 та х2:

Проінтегрувавши останні рівняння, знайдемо х1 для першого і другого випадків:

З врахуванням вихідних даних ці рівняння набудуть вигляду :

Ми отримали дві лінії переключення та дві області побудови, які описуються системою:

Після цього проведемо побудову:

1. З початкових умов (приймаємо нульові початкові умови) знайдемо =1,015; Будуємо табличку х₁ (х₂) для випадку (1) :

x2	0,00	1,00	2,00	3,00	4,00	4,46
x1	0,00	0,02	0,10	0,29	0,88	2,50

2. Коли х₁ стало рівним -2,5, то приймаємо кінцеві значення х₁ та х₂ як початкові умови для розрахунку: С₂=1,69. Будуємо табличку х₁( х₂) для випадку (2) при С₂=1,69

x2	4,46	4,00	3,00	2,00	1,00	0,00	-1,00	-2,00	-3,00	-4,00	-4,50
x1	2,50	2,53	2,60	2,65	2,69	2,71	2,69	2,61	2,41	1,82	-2,50

3. Аналогічно знаходимо: С₁=-1,69 Будуємо табличку х₁( х₂) для випадку (2) при С₁=-1,69

x2	-4,50	-4,00	-3,00	-2,00	-1,00	0,00	1,00	2,00	3,00	4,00	4,50
x1	-2,50	-2,53	-2,60	-2,65	-2,69	-2,71	-2,69	-2,61	-2,41	-1,82	2,50

4. Аналогічно знаходимо С₂=1,69;

Будуємо табличку х₁( х₂) для випадку (2) при С₂=1,69;

x2	4,50	4,00	3,00	2,00	1,00	0,00	-1,00	-2,00	-3,00	-4,00	-4,50
x1	2,50	2,53	2,60	2,65	2,69	2,71	2,69	2,61	2,41	1,82	-2,50

5. По всіх табличках послідовно будуємо графік

Рис.2 Фазовий портрет системи, побудований на основі диференціальних рівнянь

2. Побудову фазового портрету системи методом ізоклін проводять зазвичай наступним чином:

Динамічні властивості нелінійної системи описуються наступними рівняннями:

Диференціальне рівняння в операторній формі буде мати вигляд:

Перейшовши до оригіналів отримаємо:

Так як статична характеристика нелінійного елемента має вигляд:

Диференціальні рівняння руху системи будуть мати вигляд:

Так як фазова площина може бути розбита на дві області, то необхідно визначити рівняння ізоклін для кожної області.

Знайдемо рівняння ізоклін для області (І) на рис. 2. Введемо позначення:

Останні вирази визначають нахил фазової траєкторії в даній точці. Рівняння (1) і (2) запишемо в наступному вигляді:

або

Для виключення часу t розділимо останню систему на

Звідси:

Отримуємо рівняння ізоклін:

Ізокліни представляють собою прямі, паралельні до осі Ох і знаходяться від початку координат на відстанях, що залежать від величини нахилу N та М при заданих параметрах системи. Задаючи значення N та М від 0 до нескінченності, отримаємо сім'ю ізоклін.

Для побудови фазового портрета зручніше спочатку виразити параметри N та М через координату х2.

Після підстановки числових значень параметрів отримаємо:

Для останньої системи при зміні х₂ обчислимо N, М, arctgN та arctgМ

x2	5	4	3	2	1	0	-1	-2	-3	-4	-5
N	-0,667	0,833	3,333	8,333	23,333	-	-36,667	-21,667	-16,667	-14,167	-12,667
	-0,588	0,695	1,279	1,451	1,528	-	-1,544	-1,525	-1,511	-1,500	-1,492
arctgN	-33,690	39,806	73,301	83,157	87,546	90	-88,438	-87,358	-86,566	-85,962	-85,486
x2	5	4	3	2	1	0	-1	-2	-3	-4	-5
M	-12,667	-14,167	-16,667	-21,667	-36,667	-	23,333	8,333	3,333	0,833	-0,667
	-1,492	-1,500	-1,511	-1,525	-1,544	-	1,528	1,451	1,279	0,695	-0,588
arctgM	-85,486	-85,962	-86,566	-87,358	-88,438	90	87,546	83,157	73,301	39,806	-33,690

Згідно цих двох таблиць на фазовій площині проводимо ізокліни. На кожній ізокліні наносимо лінії, що вказують нахил фазової траєкторії arctgN і arctgМ, коли вона перетинає дану ізокліну. Далі, починаючи з початкової точки (визначається початковими умовами (приймаємо точку (1,5;0)) проводимо побудову фазового портрета, шляхом послідовного проведення відрізків між ізоклінами, з умовою, що відрізок перетинає ізокліну під вказаним кутом.

Рис.3 Фазовий портрет системи, побудований за методом ізоклін

3. Побудова фазового портрету системи за допомогою модуля Simulink системи Matlab

Складемо в програмі MatLab структурну схему заданої системи. Виходячи з визначення фазового портрету, сигнал з виходу системи подаємо на два елементи: на вхід Х моделі осцилографа та на вхід диференціатора. На другий вхід моделі осцилографа подаємо сигнал з виходу диференціатора.

Рис.4 Модель для побудови фазового портрету, зібрана в програмі Matlab згідно заданих значень

Рис.5 Фазовий портрет системи, отриманий в Matlab