- •Глава 1. Основные понятия и задачи моделирования.
- •Определение степени сложности и организации системы
- •Глава 2. Экспериментально-статистическое моделирование
- •Расчет коэффициентов полиномиальных моделей.
- •Статистическая оценка коэффициентов модели
- •Глава 3. Методы статистического анализа эксперимента.
- •82 49 18 48 09 50 17 10 37 51
- •Проверка однородности результатов измерений
- •Квантили распределения Колмогорова
- •Глава 4. Теоретическое моделирование.
- •Если t 0, то:
- •Пример.
- •Глава 5. Нечеткая информация и нечеткие выводы.
- •Нечеткие выводы.
- •Нечеткое продукционное правило Если высокий то открыть
- •Данные наблюдения
- •Установление функции принадлежности для вывода
- •(Знание) Если xестьA, тоyестьB
- •Глава 6. Обработка медико-биологических данных
- •Задача медицинской диагностики как задача распознавания образов
- •Обладает исследователь в предметной области (медик).
- •Отображение структуры данных в память эвм
- •Литература
Расчет коэффициентов полиномиальных моделей.
Для построения полиномиальных моделей необходимо выполнить следующие условия:
Отклик y должен быть случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Гипотезу о нормальности распределения y можно проверить стандартными методами. К сожалению, зачастую это требование принимается на веру.
Дисперсия величин y не должна зависеть от абсолютной величины y. Это условие проверяется с помощью критериев однородности дисперсии в разных точках факторного пространства.
Значения факторов не должны быть случайными величинами. Это условие означает, что фиксация и поддержание каждого фактора на заданном уровне осуществляется с точностью меньше ошибки воспроизводимости результатов.
Расчет коэффициентов, чаще всего, осуществляется методом регрессионного анализа на основе матричной алгебры. При этом осуществляется минимизация невязок истинных значений функции отклика y (экспериментальных данных) и значений y, предсказанных с помощью модели (расчетные данные). Для этого используется какая-либо целевая функция, например (чаще всего), сумма квадратов отклонения расчетных и экспериментальных значений откликов (метод наименьших квадратов):
где i - № опыта (в случае без дублирования опытов);
– расчетные (предсказанные) значения отклика;
– экспериментальные значения отклика.
Построение модели
Расчет коэффициентов полиномиальных моделей методом наименьших квадратов.
В матричном виде расчет проводится по формуле:
где: x – матрица плана; xT– транспонированная матрица плана; y – вектор столбец значений функции отклика.
Особый интерес представляет обращенная матрица (). Это матрица ошибок коэффициентов (вариационно-ковариационная матрица). Ее диагональные элементы – это дисперсии коэффициентов, а остальные элементы – ковариации, определяющие статистическую зависимость между коэффициентами полинома.
Пример. Рассмотрим расчет коэффициентов и их ошибок для 2-х факторного плана 1-ого порядка (N = 22= 4), таблица 2.2:
Таблица 2.2
Матрица 2-х факторного плана 1-ого порядка
N |
x0 |
x1 |
x2 |
y |
1 |
+1 |
-1 |
-1 |
y1 |
2 |
+1 |
-1 |
+1 |
y2 |
3 |
+1 |
+1 |
-1 |
y3 |
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
y4 |
где x0– так называемый «фиктивный» фактор, необходимый для расчета коэффициента.
Транспонируем матрицу:
Обращение матрицы (матрица ошибок).
Итак:
После умножения левой и правой части на
.
Матричный расчет коэффициентов без дублирования опытов:
;;.
или в развернутом виде:
(2.1)
В матричной форме эта система уравнений выглядит следующим образом:
(2.2).
Записи (2.1) и (2.2) тождественны. Умножим обе части соотношения (2.2) на xT:– это система нормальных уравнений.
Чтобы решить эту систему необходимо записать в явном виде элементы матрицы столбца B. Для этого умножим левую и правую часть на :. В результате получаем.
Расчет коэффициентов при дублировании опытов.
Рассмотрим случай с равномерным дублированием по всем опытам, т.е. с одинаковым количеством повторных опытов. Здесь могут быть 2 подхода: a) дублирование матрицы по числу повторов; b) каждому одиночному наблюдению соответствует своя строка в матрице плана, при записи матрицы x не делаются различия между основными и повторными опытами (т.е. для каждого дублированного опыта – матрицы плана повторяются). В таком случае количество строк в матрице будет N*n, где N – число основных опытов, а n – число повторных опытов.
Построим план 22с двумя дублированными опытами:
;;
Матрица x рассматривается как матрица основных опытов (исходная матрица не дублируется). Для учета информации при повторных опытах, используется матрица весовQ, которая представляет собой квадратную (N*n), диагональную матрицу. Элементы главной диагонали матрицы Q равны числу опытов (основных и повторных) в соответствующих строках матрицы x.
;;.
Тогда система уравнений для матричного расчета имеет следующий вид: , где- вектор столбец средних значений дублированных опытов. Коэффициенты регрессии определяются по формуле:.
Расчет коэффициентов моделей при неравномерном дублировании опытов:
;;;
;;;
;;
;
.
Произведем вывод формулы матричного расчета на основе расчета посредством метода наименьших квадратов (МНК):
Из системы уравнений МНК:
Эту систему уравнений можно представить в виде матричного уравнения: [A][B]=[y], или
Расчет коэффициентов моделей также можно производить в аналитической форме. Эти формулы приведены ниже:
;;.