Аналогия м/у течением жидкости и электрическим током. Гидравлическое сопротивление.

Рассмотрим аналогию м/у законом Гагена-Пуазейля и законом Ома.

I=∆U/R, где I – количество электрических зарядов, протекающих ч/з поперечное сечение проводника с током за единицу времени.

∆U – причина

I – следствие

R – параметр цепи

R=ρl/S, где ρ – удельное сопротивление проводника

Q=∆P/(8ηL/ πr⁴), где ∆P – причина; Q – следствие ; 8ηL/ πr⁴ – параметр трубы (S=(πr²)²)

8ηL/ πr⁴ – гидравлическое сопротивление (W)

I~Q

∆U~∆P

R~W

Гидравлическое сопротивление (W) – зависит от вязкости жидкости, длины трубы, и обратно пропорционально радиусу трубы в четвертой степени.

Гидравлическое сопротивление имеет тот же смысл, что и сопротивление току.

Гидравлическое сопротивление характеризует потери при движении жидкости по трубе.

Если R↑, то W↓

Если η↑, то W↑; L↑, то W↑

Гидравлическое соединение цепей.

• При последовательном соединении труб

W₂

W₁

W_рез=W₁+W₂

• При параллельном соединении

W₁

W₂

W₃

1/W_рез=1/W₁+1/W₂+1/W₃

При параллельном соединении, величина обратная результирующему гидравлическому сопротивлению, равняется сумме обратных величин гидравлических участков.

Потери энергии при течении вязкой жидкости по трубам

Рассмотрим течение вязкой жидкости по трубам постоянного и переменного сечения; т.е. эти трубы фактически модель кровеносных систем.

∆ P

h=0

α₂ α₁

L

Q= ∆P*πr⁴/8ηL

∆P/L = 8ηQ/πR⁴=tgα=const

R=const

α₂>α₁

• Трубы с разным сечением

∆Р

1 2 3

L

W=8ηL/πR⁴

Если R₂>R₁>R₃, то α₂<α₁<α₃

При течении жидкости по трубе с разными сечениями, наибольшие потери наблюдаются на 3 участке; наименьшие потери наблюдаются в трубе наибольшего сечения – участок №2.

Течение вязких жидкости в разветвлениях

Рассмотрим течение вязкой жидкости в разветвлениях с точки зрения сопротивления движению жидкости.

Трубу с разветвлениями м/но считать моделью кровеносной системы.

S₂*

S₁ S₂*

S₂*

L₁ L₂

L₂~L₁

S₂=kS₁; K>1

S=πR²R₁=√S₁/π

R₂*=√S₂*/π=√S₂*/n*π=√S₁*k/n*π=R₁√k/n

W₂ – общее гидравлическое сопротивление разветвления

W₁ – общее гидравлическое сопротивление до разветвления

W₂/W₁

W₁=8ηL₁/πR₁⁴

W₂*=8ηL₂/πR₂⁴

W₂=W₂*/n, т.к. соединение параллельное

W₂/W₁=n/k₂ – основная формула

При движении жидкости в разветвлениях, гидравлическое сопротивление зависит от:

-числа ветвей n

-очень сильно зависит от k, где k=S₂/S₁ – это соотношение общего сечения в разветвлении к общему сечению до разветвления.

Пусть S₂=S₁, то k=1 W₂=nW₁.

Гидравлическое сопротивление в разветвлении даже при одинаковом сечении все же будет больше, чем гидравлическое сопротивление до разветвления в n раз, где n – число ветвей.

Рассмотрим, как меняется гидравлическое сопротивление на разных участках ССС (автор Залман).

• W_арт-л/W_крупн=?

W_арт-л/W_крупн= n/k²

n_арт-л ~ 10³

k=(2/3)

L₁~L₂

W_арт-л/W_крупн=10³/(2/3)²=10³/10=10²=100

Гидравлическое сопротивление артериол в 100 раз больше, чем гидравлическое сопротивление крупных сосудов. Т.е. потери при движении крови в артериолах в 100 раз больше, чем в крупных сосудах.

• W_капил /W_арт-л=?

n ~ 10³

k=(2/3)

L_А~10L_к

k~200/400

W_капил /W_арт-л=n*L_A/k²*L_K=10³*10/(200/400)²=10⁴/4*10⁴=1/4

Потери в капиллярах меньше, чем в артериолах и составляет ¼ от потерь в артериолах.

Гидродинамика течения крови

В реальной кровеносной системе, общее сечение сосудов возрастает по мере разветвления.

В частности суммарная площадь сечения капилляров в 600-800 раз больше, чем площадь сечения артериол.

S_K/S_A=600-800~10³

На основании закона неразрывности струи, мы можем найти скорость крови в капиллярах.

υ_К~S_A*υ_A/S_K=0.5/10³=5*10^-4м/с

υ, Р

S YS

P _СР

D IA 75%

υ

25%

P _АТМ x

Крупные сосуды артериолы капилляры венулы

Давление меньше атмосферного – в венозной части сердце работает всасывая

υ – скорость движения крови

x – расстояние от сердца

∆P=Q*W

tgα=∆P/l=Q*W/l

Механические и электрические модели кровообращения

Ударный объем крови ~75мл

T=1c

T_c~0.3с

• Модель Франка

1 2 3

1-сердце

2-кровеносные сосуды – упруго деформируются, запасая энергию в упругом элементе

3-периферические сосуды

В механической модели за сокращение насоса (1), в камеру (2) выбрасывается ударный объем крови. Ударный объем крови>объема камеры (2), поэтому поршень (6), камеры (2) поднимается под действием давления насоса (1). При этом пружина (5) сжимается, запасая энергию в деформирующейся пружине (5). Клапан (4) закрывается и за время 0,7с, происходит обратное распрямление (обратная деформация) пружины (5), при этом кровь продавливается в периферическую систему (3). Затем наступает новый процесс вбрасывания ударного объема и так цикл повторяется.

Дифференциальное уравнение движения крови и его решения.

На основании закона Ньютона:

F_{равнодейств}= ma

ma=F_дав + F_тр – динамическое уравнение

∆m=ρV_уд

F_дав=P*∆V+∆ma

P*∆V – движение крови с трением

P(x,t)=Pср * P₀e^-kx*cosW(t-х/V_пульс) – уравнение 2-х переменных

Решение ДУ – уравнения пульсовой волны

P₀ – амплитуда пульсовой волны

k – коэффициент затухания пульсовой волны

x – расстояние от сердца

W – циклическая частота сокращений сердца

t – время

Пульсовая волна

Распространяющаяся по кровеносным сосудам, волна, повышенного давления называется пульсовой.

υ_пульс = 5*10м/с

P (x,t)

X₁=A

X₂=B

t

X=const

A – ближе к сердцу

B – дальше от сердца

Пульсовая волна затухает вдоль по сосудистой системе, но не во времени, а в пространстве.

P =P_срX+P_Xcos(Wt) – уравнение колебаний – уравнение 1 переменной

P

P_срX2

P_срX1

t

X₂ < X₁

Если t - const

P (x,t)=Pср * P₀e^-kx*cos(Wх/V_пульс)

P

x

Работа и мощность сердца

При своем сокращении сердце совершает работу А_мех по перемещению крови по кровеносной системе. Работа будет состоять из двух частей:

А₁ – по перемещению крови под действием Р на расстояние L.

А₁=F*L=P*∆V_g=P*∆V_уд

A₂=mυ²/2=ρ*V_уд*υ²/2

ρ(крови)=1,05*10³ кг/м³

Р(среднее)=10⁵*100/760=1,3*10⁴Па

υ=0,5м/с

V_уд=70мл

А_л.ж.=А₁+А₂=(1,3*10⁴+(1,05*10³*(0,5)²)/2)*7*10⁵=0,95Дж

t_с=0.3c

A_c=А_л.ж.+А_п.ж.

А_п.ж.=0,2А_л.ж.

А_ср~1,2А_л.ж.

За 1 мин сердце сокращается 60 раз68Дж=98000Дж/сут – подъем 1т на 10м или 100кг на 90 м.

Электрическая модель сердца

Как происходит преобразование электрического тока в электрической схеме

С R

Однополупериодный выпрямитель со сглаживающим фильтром.

Источник питания – сердце – создает разность потенциалов

Диод – клапан – ток становится однонаправленным

С – эластические сосуды – аорта и эластические сосуды, сглаживающие скачки давления

R – периферическая система

U U_д U_R

t

11