МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ

ИС-1 «Информационно-управляющие системы»

Кафедра ____________________________________________

(шифр и наименование кафедры)

УТВЕРЖДАЮ

Заведующий кафедрой ИС-1

_________ (Ивченко В.Д.)

«___»_________200__г.

220201 Для студентов 3 курса факультета ис

специальности ___________________

(шифры специальностей)

ЗАДАНИЕ

НА ВЫПОЛНЕНИЕ ДОМАШНЕЙ РАБОТЫ №1

3106 Математическое и программное обеспечение

по ________________________________________

(шифр и наименование учебной дисциплины)

Синтез СУ методом корневого годографа

ТЕМА ______________________________________________________

(наименование темы домашней работы)

Обсуждено на заседании кафедры

(предметно-методической секции)

«14» декабря 2007г.

Протокол № 5

МГУПИ – 2007г.

Содержание:

1. Тема домашней работы № 1:

1. Синтез систем методом корневого годографа с помощью MATLAB;

2. Решение задач оптимизации с помощью пакета Nonlinear Control Design Blockset.

2. Целевая установка:

• Проектирование систем управления с использованием пакета Control System: Toolbox.

• Моделирование систем управления с помощью Simulink.

• Решение задач оптимизации с помощью пакета Nonlinear Control Design Blockset.

3. Время: 8 часов.

4. Срок представления отчетных материалов: 25 декабря.

5. Руководства и пособия для самостоятельного изучения и подготовки отчетных материалов (основные и дополнительные):___________________

1. Дьяконов И.П. MATLAB 6/6.1/6.5 Simulink 4/5 в математике и моделировании. М.: СОЛОН-Пресс, 2003.

2. Р. Дорф, Р. Бишоп. Современные системы управления. Пер. а англ. М.: Лаборатория Базовых Знаний, ЮНИМЕДИАСТАЙЛ, 2002.

3. Ч. Филипс, Р. Харбор. Системы управления с обратной связью. Пер. а англ. М.: Лаборатория Базовых Знаний, ЮНИМЕДИАСТАЙЛ, 2001.

4. Мартынов Н.Н. Matlab 7. Элементарное введение. M.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2005.-416 с.

5. Лекции 10-12.

6. Практические занятия 4 и 5.

6. Содержание домашнего задания:

Домашняя работа должна содержать три раздела:

1. Вопросы анализа и синтеза системы управления методом корневого годографа. Варианты задания для пункта 1 приведены в п.3. Вариант задания соответствует порядковому номеру студента в журнале минус 35, если этот номер превышает 35. Описание системы управления, ее структурная схема и параметры приведены ниже.

2. Моделирование системы управления в среде Simulink. Необходимо провести моделирование системы управления, соответствующей варианту из п.1., и получить переходные процессы, подтверждающие расчетные показатели качества системы.

3. Решение оптимизационной задачи с помощью пакета Nonlinear Control Design Blockset.

7. Перечень отрабатываемых контрольных учебных вопросов (действий):

• Проектирование систем управления с использованием пакета Control System: Toolbox.

• Моделирование систем управления с помощью Simulink.

• Решение задач оптимизации с помощью пакета Nonlinear Control Design Blockset.

• Оформление отчета с комментариями и результатами работы.

8. Методические рекомендации обучаемым по подготовке домашнего задания: Для выполнения работы необходимо изучить темы 5 и 6, в также привлечь результаты выполнения практических заданий № 4, 5.

Краткие теоретические сведения. Построение корневого годографа с помощью MATLAB.

Рассмотрим замкнутую систему управления, изображённую на рис. 4.1.

Рис. 4.1. Замкнутая система управления

Система имеет передаточную функцию

Характеристическое уравнение можно представить в виде:

(4.1)

Именно в таком виде должно быть записано характеристическое уравнение, чтобы можно было воспользоваться функцией rlocus. Эта функция применяется к характеристическому уравнению общего вида

(4.2)

где К — варьируемый параметр, изменяемый в диапазоне 0 < К < . Формат функции rlocus: >>[r,K]= rlocus(sys);

где

r – положения комплексных корней;

K – вектор коэффициентов;

sys – система с обратной связью, определяемая характеристическим уравнением общего вида (4.2).

Этапы построения корневого годографа по уравнению (4.1) приведе­ны на рис.4.2. Вызов функции rlocus без указания аргументов в левой части автоматиче­ски приводит к графическому изображению корневого годографа. При задании аргумента в левой части функция rlocus возвращает матрицу положения корней и вектор соответству­ющих коэффициентов.

Этапы построения корневого годографа с помощью MATLAB таковы:

1. Записать характеристическое уравнение в форме (4.2), где К — варьируемый параметр.

2. Использовать функцию rlocus для построения корневого годографа.

На рис. 4.2, можно увидеть, что при увеличении К две ветви корневого годографа отрываются от действительной оси. Это значит, что при некоторых значениях К характеристическое уравнение замкнутой системы будет иметь два комплексных корня. Предположим, что мы хотим найти значение К, соответствующее этой паре комплексных корней. Для этого можно воспользоваться функцией rlocfind, но только после того, как с помощью функции rlocus будет построен сам корневой годограф. Вызов функции rlocfind при­ведёт к появлению на корневом годографе маркера в виде черты, пересекающей траекторию. Вы подводите маркер к интересующему вас положению на корневом годографе и на­жимаете клавишу Enter. На дисплей будет выведено значение параметра К и координаты выбранной точки. Применение функции rlocfind проиллюстрировано на рис. 4.3.

>> p=[1 1];

>> q=[1 5 6 0];

>> sys=tf(p,q);

>> rlocus(sys)

Рис. 4.2. Корневой годограф для характеристического уравнения (4.1)

>> rlocfind(sys)

Отметьте точку в графическом окне

selected_point =

-2.0509 + 4.3975i

ans =

21.2327 % Значение K

Рис. 4.3. Применение функции rlocfind

Продолжая пример с построением корневого годографа системы третьего порядка, находим, что при К = 21.2327 передаточная функция замкнутой системы имеет три полюса и два нуля:

Если принять во внимание только положение полюсов замкнутой системы, то, казалось бы, доминирующую роль должен играть полюс s = - 0,8989. Чтобы проверить это, имеет смысл исследовать реакцию системы на ступенчатый сигнал, R(s) = l/s. В этом случае мы имеем:

(4.3)

Первый этап вычисления y(t) состоит в разложении (4.3) на простые дроби. Для этой цели используется функция residue, как показано на рис. 4.4.

>> K=21.2327;

>> num=K*[1 4 3]; den=[1 5 6+K K 0];

>> [r,p,k]=residue(num,den)

r =

-1.3830 - 1.7458i

-1.3830 + 1.7458i

-0.2339

3.0000

p =

-2.0489 + 4.3975i

-2.0489 - 4.3975i

-0.9021

0

k =

[]

r – вычеты,

p – полюсы,

k – постоянный член

Рис. 4.4. Разложение выражения (4.3) на простые дроби

Разложение (4.3) на простые дроби выглядит так:

Сравнивая значения вычетов, мы видим, что коэффициент при члене, соответствующем полюсу s = - 0,9021, значительно меньше коэффициентов при членах, соответствую­щих комплексно-сопряженным полюсам s = - 2,0489 ±j4,3975. Следовательно, можно ожидать, что влияние полюса s = - 0,9021 на реакцию системы y(t) не будет доминирую­щим. Тогда время установления следует оценивать по комплексно-сопряженным полю­сам. Комплексным полюсам s_1,2 = - a ±jb соответствует характеристическое уравнение

=(s+a-jb)(s+a+jb) = . Т.е. собственная частота _n= , а коэффициент затухания ζ = . Полюсам 2,0489 ±j4,3975 соответствует собственная частота _n = 4,851 и коэффициент затухания ζ = 0,4223. Таким образом, ожидаемое время установления

Переходная характеристика, построенная с помощью функции step, изображена на рис. 4.5, откуда видно, что Т_s ~ 1,6 с. Следовательно, предсказанное значение T_s ~ 1,95с является довольно хорошей аппроксимацией. Перерегулирование составляет 50%.

>> K=21.2327;

>> num=K*[1 4 3];den=[1 5 6+K K];

>> sys=tf(num,den);

>> step(sys)

Рис. 4.5. Переходная характеристика замкнутой системы при К = 21.2327

В этом примере мы проиллюстрировали влияние нулей передаточной функции на переходную характеристику системы. Близость нуля s = - 1 к полюсу s = -0.9021 уменьша­ет влияние этого полюса, а основной вклад в переходную характеристику вносят комп­лексно-сопряжённые полюсы s = -2.0489  j4.3975 и нуль s = - 3.

Чувствительность и корневой годограф. Корни характеристического уравнения играют важную роль при определении реакции замкнутой системы на входной сигнал. Поэтому крайне полезно иметь оценку чувствительности этих корней к изменению параметров системы. Чувствительность корня r_i определяется как

(4.4)

Если параметру К придать малое конечное приращение ΔK и определить новое значение корня r_i + r_i то чувствительность будет равна

(4.5)

Чувствительность — это комплексное число. Вернёмся ещё раз к уравнению 4.1. Если изменить параметр К на 5%, (К = 21.2327*1,05=22,2943), то один из комплексно-сопряжённых полюсов будет равен s= -2.0465 + j4.5160 т.е. получит приращение Δ r_i = - 0,0022 -j0,1185. Так как параметр К изменился от К = 21.2327 до К = 22,2943, то согласно (4.5) чувствительность будет равна

Эту чувствительность можно представить и в иной форме:

Модуль и аргумент являются показателями чувствительности корня. Программа с помощью которой вычисляется эта чувствительность, приведена на рис. 4.6.

Показатель может оказаться очень полезным для сравнения чувствительности по отношению к различным параметрам системы при разных положениях корней.

>> K=21.2327; dK=0.05*K;

>> num=K*[1 4 3];den=[1 5 6+K K]; r1=roots(den);

>> Km=K+dK; denm=[1 5 6+Km Km]; r2=roots(denm);

>> dr=r1-r2;

>>s=dr./(dK/K)

Рис. 4.6. Вычисление чувствительности корня при изменении параметра

Для выполнения п.3 лабораторной работы необходимо воспользоваться разделом 5 «Имитационное моделирование. Пакет Nonlinear Control Design (NCD) Blockset» курса лекций. На основании рассмотренного примера следует оптимизировать Ваш вариант системы управления.