- •Раздел 7
- •1. Система координат на плоскости
- •1.1. Декартова система координат
- •Повторение некоторых сведений из раздела «Элементы векторной алгебры»
- •1.2. Преобразование системы координат
- •1. Параллельный перенос осей координат
- •2. Поворот осей координат
- •1.3. Полярная система координат
- •1.4. Линии на плоскости
- •2. Уравнение прямой на плоскости
- •2.1. Общее уравнение прямой
- •2.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •2.3. Каноническое уравнение прямой
- •2.4. Параметрические уравнения прямой
- •2.5. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •2.6. Уравнение прямой в отрезках
- •2.7. Расположение двух прямых на плоскости
- •Условия параллельности двух прямых
- •Условия перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •2.8. Расстояние от точки до прямой
- •3. Линии второго порядка
- •3.1. Окружность
- •3.2. Эллипс
- •3.3. Гипербола
- •3.4. Парабола
- •4. Уравнения поверхности и
- •4.1. Системы координат в пространстве
- •1. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве
- •2. Цилиндрические координаты
- •3. Сферические координаты
- •4.2. Уравнения поверхности и линии в пространстве
- •5. Уравнение плоскости
- •5.1. Общее уравнение плоскости
- •5.6. Расположение двух плоскостей Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
- •Угол между двумя плоскостями
- •5.7. Расстояние от точки до плоскости
- •6. Уравнение прямой
- •6.1. Канонические и параметрические уравнения прямой
- •6.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •6.3. Общие уравнения прямой в пространстве
- •6.4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •6.5. Угол между двумя прямыми
- •6.6. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
- •6.7. Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Определение точки пересечения прямой и плоскости
- •Угол между прямой и плоскостью
- •7. Поверхности второго порядка
- •7.1. Канонические уравнения и поверхности второго порядка
2. Цилиндрические координаты
Н аименование «цилиндрические координаты» объясняется тем, что координатная поверхность (т.е. множество точек, имеющих одну и ту же первую координату ) является цилиндром (он изображен пунктиром). Если выбрать систему прямоугольных координат следующим образом: ось совместить с полярной осью, ось с прямой перпендикулярной полярной оси и проходящей через полюс, ось в цилиндрической системе координат будет совпадать с осью в декартовой системе координат, то декартовы координаты x, y и z точки M будут связаны с ее цилиндрическими координатами , и z формулами
.
3. Сферические координаты
Наименование «сферические координаты» связано с тем, что координатная поверхность (т.е. множество точек, имеющих одну и ту же координату r) является сферой (одна из таких сфер изображена пунктиром). Если совместить декартову систему координат со сферической, то декартовы координаты , и точки M будут связаны с ее сферическими координатами , и формулами
.
4.2. Уравнения поверхности и линии в пространстве
Поверхность в пространстве, как правило, можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Свойство, общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, связывающего координатами всех точек поверхности.
Уравнением поверхности в прямоугольной системе координат называется такое уравнение с тремя переменными , и , которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности. Переменные , и в уравнении поверхности называются текущими координатами точек поверхности.
Если координаты , и точки M поверхности удовлетворяют уравнению поверхности , то говорят, что точка M принадлежит поверхности.
Для составления поверхности надо взять на ней произвольную точку и, учитывая свойства поверхности, получить зависимость между координатами этой точки.
Пример 4.1. Составить уравнение сферы с центром в точке и радиусом R.
Решение. Для произвольной точки сферы очевидно следующее равенство или
.
Отсюда
. (4.1)
Равенство (4.1) и есть уравнение искомой сферы в прямоугольной системе координат . В частности, если совпадает с началом координат, то равенство является уравнением сферы радиусом R с центром в начале координат.
Заметим, что не каждое уравнение определяет в пространстве поверхность как геометрический образ. Например, уравнению не удовлетворяет ни одна точка пространства. А уравнение определяет только одну точку пространства .
Задание поверхности, при котором одна из текущих координат явно выражена через две остальные в виде , или , или , называется явным. Задание поверхности в виде называется неявным.
5. Уравнение плоскости
В ПРОСТРАНСТВЕ
Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве можно задать разными способами. Каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения.