- •Раздел 7
- •1. Система координат на плоскости
- •1.1. Декартова система координат
- •Повторение некоторых сведений из раздела «Элементы векторной алгебры»
- •1.2. Преобразование системы координат
- •1. Параллельный перенос осей координат
- •2. Поворот осей координат
- •1.3. Полярная система координат
- •1.4. Линии на плоскости
- •2. Уравнение прямой на плоскости
- •2.1. Общее уравнение прямой
- •2.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •2.3. Каноническое уравнение прямой
- •2.4. Параметрические уравнения прямой
- •2.5. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •2.6. Уравнение прямой в отрезках
- •2.7. Расположение двух прямых на плоскости
- •Условия параллельности двух прямых
- •Условия перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •2.8. Расстояние от точки до прямой
- •3. Линии второго порядка
- •3.1. Окружность
- •3.2. Эллипс
- •3.3. Гипербола
- •3.4. Парабола
- •4. Уравнения поверхности и
- •4.1. Системы координат в пространстве
- •1. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве
- •2. Цилиндрические координаты
- •3. Сферические координаты
- •4.2. Уравнения поверхности и линии в пространстве
- •5. Уравнение плоскости
- •5.1. Общее уравнение плоскости
- •5.6. Расположение двух плоскостей Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
- •Угол между двумя плоскостями
- •5.7. Расстояние от точки до плоскости
- •6. Уравнение прямой
- •6.1. Канонические и параметрические уравнения прямой
- •6.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •6.3. Общие уравнения прямой в пространстве
- •6.4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •6.5. Угол между двумя прямыми
- •6.6. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
- •6.7. Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Определение точки пересечения прямой и плоскости
- •Угол между прямой и плоскостью
- •7. Поверхности второго порядка
- •7.1. Канонические уравнения и поверхности второго порядка
3.4. Парабола
Определение 3.5. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой ее директрисой.
Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается .
Для вывода уравнения параболы выберем систему координат так, чтобы ось прошла через фокус перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к , а начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой.
В выбранной системе координат фокус
,
а уравнение директрисы имеет вид
.
Пусть
произвольная точка
параболы. Соединим точку
с
,
где
называется фокальным радиусом
точки
.
Проведем отрезок
перпендикулярно директрисе. Согласно
определению параболы
.
По формуле расстояния между двумя
точками находим:
, а .
Следовательно,
.
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
,
т.е.
. (3.7)
Уравнение (3.7) называется каноническим уравнением параболы.
Для любой точки параболы . Так как для точек эллипса и гиперболы , то для параболы естественно считать эксцентриситет .
Чтобы установить форму параболы и построить ее в прямоугольной системе координат , проведем исследование ее канонического уравнения.
1. В уравнении (3.7) переменная входит в четной степени, значит, парабола симметрична относительна оси ; ось является осью симметрии параболы.
2. Так как , то из (3.7) следует, что . Следовательно, парабола расположена справа от оси .
Уравнения вида , и также определяют параболы, которые изображены на рисунке.
Нетрудно показать, что график квадратного трехчлена , где , и любые действительные числа, представляет собой параболу в смысле приведенного выше ее определения.
Замечание. Если вершина параболы или смещена в точку , то ее каноническое уравнение имеет вид
или .
Для параболы , осью симметрии служит прямая , а фокус имеет координаты , директриса описывается уравнением .
Аналогично для параболы , осью симметрии служит прямая , а фокус имеет координаты , директриса описывается уравнением .
Пример 3.3. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением
.
Решение. Выделим в этом уравнении полные квадраты:
.
Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке ; действительная полуось , мнимая полуось ; эксцентриситет
.
4. Уравнения поверхности и
ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
4.1. Системы координат в пространстве
1. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве
Прямоугольная декартова система координат в пространстве определяется тремя пересекающимися в одной точке взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в определенном порядке и масштаба (отрезка для измерения длин).
Прямоугольная система координат в пространстве позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и тройками чисел x, y и z их координатами.
Каждая пара координатных осей определяет координатную плоскость. Координатные плоскости обозначают соответственно , , . Эти координатные плоскости делят все точки пространства, на принадлежащие им, на восемь частей, называемых октантами.