Коэффициент линейной корреляции Пирсона

Коэффициент линейной корреляции Пирсона является мерой связи для признаков, измеренных по количественным шкалам (интервальной или пропорциональной) и оценивает линейные взаимосвязи между ними.

Коэффициент линейной корреляции Пирсона также может изменяться от –1,00 до +1,00. Знак указывает на направление взаимосвязи, а абсолютное значение коэффициента корреляции — на силу взаимосвязи.

Коэффициент корреляции Пирсона рассчитывается по следующей формуле:

где

x_i — первичные значения переменной x;

— среднее арифметическое значение переменной x;

y_i — первичные значения переменной y;

— среднее арифметическое значение переменной y;

σ_x — стандартное отклонение переменной x;

σ_y — стандартное отклонение переменной y;

N — объем выборки;

r_xy — расчетное значение коэффициента линейной корреляции Присона.

Если в эту формулу подставить формулы для расчета двух стандартных отклонений σ_x и σ_y , то она приобретет следующий вид:

Алгоритм расчета коэффициента линейной корреляции Пирсона

1. После составления исходной матрицы данных для каждого признака находятся средние арифметические и .

2. Для дальнейших расчетов целесообразно воспользоваться таблицей следующего вида:

Таблица 21

№	xi	yi	xi–	yi–	(xi– )2	(yi– )2	(xi– )*(yi– )
1	2	3	4	5	6	7	8
1
2
…
N
					=………	=……..	=………………

В столбцы 2 и 3 занесены первичные данные.

3. Для каждого значения переменной x_i находим разность x_i– и записываем в столбик 4.

4. Для каждого значения переменной y_i находим разность y_i– и записываем в столбик 5.

5. В каждой строчке таблицы полученные разности возводим в квадрат и записываем в столбики 6 и 7.

6. Квадраты разностей, записанные в столбике 6, сложить.

7. Аналогично найти сумму квадратов разностей по столбику 7.

8. В каждой строчке таблицы находим произведение разностей (x_i– )*(y_i– )и записываем в столбик 8.

9. Находим сумму полученных произведений.

10. Вычисленные суммы (по столбикам 6, 7 и 8) подставить в формулу и вычислить расчетное значение коэффициента линейной корреляции Пирсона.

11. Правило вывода: Определить по таблице (см. таблицу критических значений коэффициента линейной корреляции Пирсона) критическое значение r_xy для данного N.

Если r_{xy расч.≥} r_{xy критич.}, корреляция достоверно отличается от 0, т.е. взаимосвязь между признаками статистически значима.

Если r_{xy расч.}< r_{xy критич.}, корреляция недостоверно отличается от 0, т.е. взаимосвязь между признаками отсутствует.

Расчеты коэффициента корреляции Пирсона довольно трудоемки, поэтому для обработки реальных данных чаще всего пользуются компьютерными программами.

Корреляционное отношение — мера нелинейной (криволинейной) взаимосвязи между признаками, измеренными по количественным шкалам (интервальной или пропорциональной). Алгоритм его расчета можно найти в случае необходимости в учебнике Ермолаева О. Ю. Математическая статистика для психологов. — М., 2008.

1 Знак расчетной меры взаимосвязи интерпретируется только для зависимостей между признаками, измеренными по шкале порядка, интервальной или пропорциональной шкале. Для взаимосвязей признаков, измеренных по шкале наименований, знак не интерпретируется, так как он зависит от расположения градаций (значений) признака, которые в данной шкале не могут быть упорядочены, так как в ней не применяется операция сравнения «больше — меньше».