Критерий «хи-квадрат» Пирсона

Назначения критерия

Критерий χ² применяется в двух целях;

1) для сопоставления эмпирического распределения признака с теоре­тическим (равномерным, нормальным или каким-то иным);

2) для сопоставления двух, трех или более эмпирических распределе­ний одного и того же признака, то есть для проверки их однородности;

3) для оценки стохастической (вероятностной) независимости в системе случайных событий;

и т.д.

Описание критерия

Критерий χ² отвечает на вопрос о том, с одинаковой ли частотой встречаются разные значения признака в эмпирическом и теоретическом распределениях или в двух и более эмпирических распределениях.

Преимущество метода состоит в том, что он позволяет сопостав­лять распределения признаков, представленных в любой шкале, начиная от шкалы наименований. В самом простом случае альтерна­тивного распределения ("да - нет", "допустил брак - не допустил бра­ка", "решил задачу - не решил задачу" и т. п.) мы уже можем приме­нить критерий χ².

Ограничения критерия

1. Объем выборки должен быть достаточно большим: N>30. При N<30 критерий χ² дает весьма приближенные значения. Точность крите­рия повышается при больших N.

2. Теоретическая частота для каждой ячейки таблицы не должна быть меньше 5: f ≥ 5. Это означает, что если число разрядов задано зара­нее и не может быть изменено, то мы не можем применять метод χ², не накопив определенного минимального числа наблюдений. Ес­ли, например, мы хотим проверить наши предположения о том, что частота обращений в телефонную службу Доверия неравномерно распределяются по 7 дням недели, то нам потребуется 5-7=35 обра­щений. Таким образом, если количество разрядов (k) задано зара­нее, как в данном случае, минимальное число наблюдений (N_min) оп­ределяется по формуле: .

3. Выбранные разряды должны "вычерпывать" все распределение, то есть охватывать весь диапазон вариативности признаков. При этом группировка на разряды должна быть одинаковой во всех сопостав­ляемых распределениях.

4. Необходимо вносить "поправку на непрерывность" при сопоставле­нии распределений признаков, которые принимают всего 2 значения. При внесении поправки значение χ², уменьшается (см. пример с по­правкой на непрерывность).

5. Разряды должны быть неперекрещивающимися: если наблюдение отнесено к одному разряду, то оно уже не может быть отнесено ни к какому другому разряду. Сумма наблюдений по разрядам всегда должна быть равна общему количеству наблюдений.

Алгоритм расчета критерия χ²

1. Составить таблицу взаимной сопряженности значений признаков следующего вида (по сути это двумерный вариационный ряд, в котором указываются частоты появления совместных значений признака) — таблица 14. В таблице располагаются условные частоты, которые мы обозначим в общем виде как f_ij. Например, число градаций признака х равно 3 (k=3), число градаций признака у равно 4 (m=4); тогда i меняется от 1 до k, а j меняется от 1 до m.

Таблица 15

х у	х1	х2	х3	∑
у1	f11	f21	f31	f –1
у2	f12	f22	f32	f –2
у3	f13	f23	f33	f –3
у4	f14	f24	f34	f –4
∑	f1–	f2–	f3–	N

2. Далее для удобства расчетов преобразуем исходную таблицу взаимной сопряженности в таблицу следующего вида (таблица 16), располагая столбики с условными частотами один под другим: Занести в таблицу наименования разрядов (столбцы 1 и 2) и соответствующие им эмпирические частоты (3-й столбец).

Таблица 16

х	у	fij	fij*	fij – fij*	(fij – fij*)2	(fij – fij*)2/ fij*
1	2	3	4	5	6	7
х1	у1	f11	f11*
х1	у2	f12	f12*
х1	у3	f13	f13*
х1	у4	f14	f14*
х2	у1	f21	f21*
х2	у2	f22	f22*
х2	у3	f23	f23*
х2	у4	f24	f24*
х3	у1	f31	f31*
х3	у2	f32	f32*
х3	у3	f33	f33*
х3	у4	f34	f34*
						∑=………….

3. Рядом с каждой эмпирической частотой записать теоретическую частоту (4-й столбец), которая вычисляется по следующей формуле (итоговая частоты по соответствующей строчке умножается на итоговую частоту по соответствующему столбику и делится на общее количество наблюдений):

4. Подсчитать разности между эмпирической и теоретической частотой по каждому разряду (строке) и записать их в 5-й столбец.

5. Определить число степеней свободы по формуле: ν=(k-1)(m-1) , где k - количество разрядов признака х, m — количество разрядов признака у.

Если ν=1, внести поправку на "непрерывность" и записать её в столбце 5а.

Поправка на непрерывность состоит в том, что от разности между условной и теоретической частотой отнимается еще 0,5. Тогда заголовки столбиков в нашей таблице будет выглядеть следующим образом:

Таблица 17

х	у	fij	fij*	fij – fij*	fij – fij* – 0,5	(fij – fij* – 0,5)2	(fij – fij* – 0,5)2/ fij*
1	2	3	4	5	5а	6	7

6. Возвести в квадрат полученные разности и занести их в 6-й столбец.

7. Разделить полученные квадраты разностей на теоретическую часто­ту и записать результаты в 7-й столбец.

8. Просуммировать значения 7-го столбца. Полученную сумму обо­значить как χ²_эмп.

9. Правило принятия решения:

Расчетное значение критерия необходимо сравнить с критическим (или табличным) значением. Критическое значение находится в зависимости от числа степеней свободы по таблице критических значений критерия χ² Пирсона.

Если χ²_расч ≥ χ²_табл , то рас­хождения между распределениями статистически достоверны, или признаки изменяются согласованно, или связь между признаками статистически значима.

Если χ²_расч < χ²_табл , то расхождения между рас­пределениями статистически недостоверны, или признаки изменяются несогласованно, или связи между признаками нет.

Прежде чем рассматривать меры связи дальше, необходимо освоить такую процедуру как ранжирование.