1. Понятия, их объем и сод-ие. Отнош-е рода и вида м-у понятиями. Явные и неявные опред-я понятий. Примеры явных и неявных опред-ий понятий, изуч-х в нач. Курсе матем-и (2-3).
В логике понятия рассматр-ют как форму мысли, отражающую Ob-ы (предметы или явл-я) в их существ-х и общих св-вах.
Любое понятие характер-ся термином, объемом и сод-ем.
Существенными св-вами понятий явл-ся те св-ва понятия, без кот. оно не м. существовать.
Сод-ие понятия – совок-ть всех существ-х св-в того или иного понятия.
Объем понятия – совок-ть всех Ob-ов, обозначаемых одним и тем же термином.
Пример:
Понятие: четырехугольник.
Св-ва, кот. образуют сод-ие: имеет 4 стороны, 4 угла; диагонали пересек-ся в одной точке; сумма углов равна 360 градусов; сумма 2х смежных сторон > длинны диагонали, соединяющей концы этих сторон; и т.д.
Объем: параллелограмм, трапеция, квадрат и т.д.
М-у объемом и сод-ем понятия сущ-ет опред-я связь: чем больше объем понятия, тем меньше его сод-ие, и наоборот.
Объем понятия – V(понятие)
Понятия м. находиться в различ. отнош-ях, в частности родо-видовых.
Понятие а явл-ся родовым по отнош-ю к понятию b, если объем понятия b явл-ся подмн-вом объема понятия a.
Vb C Va
Пример:
Понятие «параллелогр.» явл-ся видовым для понятия «4угольник», а «4угольник» - родовое для понятия «параллелогр.»
Одно и то же понятие м. иметь в качестве родового понятия неск-ко понятий.
Пример:
Понятие «ромб». Родовое понятие: «4угольник», «параллелогр.», «геометрич. фигура».
Одно и то же понятие м. б. по отнош-ю к одному понятию видовым, а по отнош-ю к др-у понятию – родовым.
Пример:
«Параллелогр.» – родовое для «ромб», видовое для «4угольник».
Если объемы 2х понятий совпадают, то такие понятия тождественны.
Пример:
Прямоугольный тр-к – это такой тр-к, у кот. один угол прямой.
Прямоугольный тр-к – это такой тр-к, в кот. сумма 2х углов равна 90 градусов.
Понятия м. находиться в отнош-ях часть-целое.
Пример:
Прямая – отрезок (объемы понятий не пересек-ся)
Сод-ие понятий раскрывается через опред-ие понятий. В опред-ях разъясняется суть нового понятия. Различают явные и неявные опред-ия.
Явные опред-ия имеют форму рав-ва.
В структуру этого рав-ва входят:
- Определяемое понятие (1) – определяющее понятие (2)
- Определяющее понятие сост. из родового понятия (3) и видового понятия (4)
Пример:
Остроугольный тр-к – это тр-к, в кот. все углы острые.
1 – остроугольный тр-к.
2 – это тр-к, в кот. все углы острые.
3 – тр-к.
4 – в кот. все углы острые.
Неявные опред-ия бывают контекстуальные и остенсивные.
Контекстуальные – опред-ия, в кот. суть понятия раскрывается через текст.
Остенсивные – суть понятия раскрывается через рассказ.
К явным опред-ям предъявляются различ. треб-ия:
1) Опред-ие д. б. соразмерным (т.е. объемы определяющего понятия и определяемого д. совпадать)
Пример:
Тупоугольный тр-ик – это тр-к, у кот. только 2 угла острые.
2) Д. отсутствовать «порочный круг» (т.е. понятие нельзя опред-ть через самое себя, или через что-то, кот. потом определяется через определяемое понятие).
Пример:
Умнож-е чисел – это когда числа умнож-ся. Умнож-е – действие, в кот. находятся произвед-е, а произвед-е – это рез-т умнож-я.
3) Отсутствие избыточности.
Пример:
Прямоугольный тр-к – тр-к, у кот. один угол прямой, а сумма 2х др. углов равна 90 градусов.
Опред-ия математич-х понятий в курсе матем-ке в нач. шк. осущ-ся в основном с помощью неявных опред-ий. Такими примерами явл-ся след. опред-ия: ур-ние (3 кл.), прямой угол, отрезок, прямая, ломанная.