2.Одноканальная частотная (неоптимальная) фильтрация

2.1 Математическая основа и постановка задачи частотной фильтрации

• Частотная фильтрация базируется на аппарате Фурье-преобразования (далее – Ф-преобразование):

В непрерывной форме: (6)

В дискретной форме: (7)

Далее для краткости связанность функций f(t) и S() (x_t и X_) парой непрерывных (или дискретных) Ф-преобразований будем обозначать как f(t) S(w) (или x_t  X_w)

• Пусть сигнал на входе фильтра есть x(t)Û X(w). Пусть желаемый выходной сигнал – y(t)Û Y(w) (в непрерывной или дискретной форме)

• Входной и выходной сигналы связаны соотношениями:

(8) , где H(w) – комплексная характеристика фильтра в частотной области; h(t) – временнáя характеристика, (импульсная реакция) фильтра.

* – операцися свертки, описываемая интегралом Дюамеля. Временнáя и комплексная частотная характеристики фильтра связаны Ф-преобразованием (h(t)Û H(w)).

• Из линейности Ф-преобразования следует линейность процедуры фильтрации (процедура фильтрации описывается линейным преобразованием).

• Частотная фильтрация эффективна, если спектры полезных сигналов отличаются от спектров помех или спектр помех имеет специфические характеристики (f = 50 Гц).

• Задача построения (синтеза) частотного фильтра сводится к нахождению нужной комплексной частотной (или импульсной) характеристики фильтра.

• Если спектр полезного сигнала ограничен полосой частот _{гран 1}  _{гран 2}, то:

(9) Н() =

2.2 Типы частотных фильтров.

• Частотные фильтры могут быть: ~ физически реализуемыми; ~ физически нереализуемыми.

• Физически реализуемые фильтры могут быть как физическими объектами, так и математическими (обрабатывающими программами ЭВМ). Физически нереализуемыми – только математические.

• Физически осуществимые фильтры должны отвечать двум условиям:

(10)

• Смысл второго условия – временнáя характеристика фильтра должна быть затухающей функцией.

• Смысл первого условия:

~ невозможна физическая реализация фильтра с симметричной временнóй характеристикой вида h(t) = ,

но возможен фильтр h(t) = .

Замечание: физически осуществимый фильтр всегда сдвигает фазу сигнала, т.к. их фазово-частотная характеристика ненулевая (( ) 0). Если () = 0, то h(t) – функция четная, т.е h(t) = h(-t), что будет показано ниже.

• Фильтры, в минимальной степени сдвигающие сигнал (минимально-фазовые фильтры) должны удовлетворять условию (без доказательства): ln H() = , где H() = , ln H()= ln |H()| – j()

2.3 Синтез частотных фильтров

2.3.1 Фильтры нижних частот

• Комплексную частотную характеристику ФНЧ, в соответствии с выражением (9), можно записать как

(9`) H() =

Комплексная частотная характеристика симметрична относительно ₀ = 0. Импульсная характеристика (в соответствии с (4)) с точностью до постоянного множителя 1/2 и с учётом разложения экспоненциального члена по формуле Эйлера (e^j = cos   jsin) может быть записана как:

h(t)=

Фазово-частотная характеристика фильтра () может быть выражена через действительную (Re()) и мнимую (Im()) части как: . Если фазовые сдвиги в фильтре отсутствуют (()= 0), то это возможно лишь при Im() = 0. Тогда h() – действительная функция, т.е. ( с учётом (5`)):

h(t)= (11)

Форма временнóй характеристики ФНЧ.

• В соответствии со свойствами Ф-преобразования (теорема масштабов) из ограниченности частотной характеристики следует неограниченность импульсной. В реальных обрабатывающих системах при фильтрации сигналов во временной области используются операторы фильтров ограниченной длины (М): при . Тогда 

• Показано, что в классе функций вида (3) наилучшее приближение по МНК (в метрике l₂) имеет оператор вида:

(12)

Частотная характеристика ФНЧ с ограниченным оператором

• Для неё характерны:

~ плавный спад в области _гр (вместо ступени у идеальн. фильтра);

~ флуктуации амплитуды частотной характеристики вследствие разрывности импульсной характеристики (эффект Гиббса).

• Максимальная амплитуда флуктуаций не зависит от длины оператора фильтра (М) и равна  , т.е. в области подавления остаточная амплитуда остается значимой.

• Для уменьшения флуктуаций в характеристику фильтра вводится сглаживающий элемент (следствием его применения будет не только уменьшение колебаний Гиббса, но и уменьшение крутизны характеристики в области перехода от полосы пропускания к полосе гашения). Рассмотрим два фильтра с элементами сглаживания.

ФНЧ с косинусоидальным сглаживанием

• Частотная характеристика такого фильтра и её график:

(13)

Оператор фильтра: = (14)

• Фильтр, описываемый выражениями (13) и (14), обеспечивает наилучшее подавление при выполнении соотношения М  2.6 (15) Соотношение (11) является основой для выбора длины оператора фильтра (М) по заданной ширине переходной зоны (2), характеризующей крутизну частотной характеристики фильтра – чем уже переходная зона (ближе характеристика фильтра к идеальной), тем длинее оператор фильтра.

Фильтр Баттерворта

• Фильтр Баттерворта задается квадратом частотной характеристики: ² = (16), где: _гр – частота среза фильтра; n – целое число, определяющее порядок фильтра (чем больше n, тем ближе фильтр к идеальному).

~ при   0 частотная характеристика  1;

~ при  = _гр = = 0.707 (независимо от знач. n). Т.О., значения частотной характеристики в полосе пропускания изменяются от 1 до 0.707 (неравномерность составляет – 3 дБ).

• Крутизна частотной характеристики фильтра Баттерворта в переходной зоне определяется выражением: К() = (дБ/окт) , где ₂ = 2₁ (w₁  w₂ – частотный диапазон, равный одной октаве).

• Порядок фильтра выбирается, исходя из желаемой степени подавления заданной частоты.

• Существуют и другие способы сглаживания . Далее под h(t) и будем понимать характеристики сглаженных фильтров.

2.3 Принципы синтеза других типов частотных фильтров.

ФВЧ

• Частотную характеристику ФВЧ можно представить как разность между спектром -импульса и частотной характеристикой ФНЧ: =

Оператор фильтра: = = = =

Общие замечания относительно ФНЧ и ФВЧ

~ При обработке геофизической информации, как правило, используются цифровые (дискретные) фильтры, которые имеют периодические частотные характеристики:

~ При регистрации или воспроизведении все спектральные составляющие сигналов за пределами диапазона (w_гр ¸ W = p /d t) должны быть устранены, иначе возникают зеркальные помехи (элайсинг-эффект).

Полосовой фильтр

• Частотную характеристику полосового фильтра можно представить как разность частотных характеристик двух ФНЧ – из характеристики с более высокой частотой среза вычитается характеристика с более низкой частотой: Н_полос(w₁,w₂)= Н_ФНЧ(для w₂) - Н_ФНЧ(для w₀ , w₁)

Нетрудно убедиться, что оператор полосового фильтра будет равен разности операторов ФНЧ, рассчитанных для соответствующих частот среза:

h_полос(w₁,w₂)= h_ФНЧ(для w₂) - h_ФНЧ(для w₀ , w₁)

Режекторный фильтр

• 

  Частотную характеристику режекторного фильтра представить как разность между спектром d-импульса и частотной характеристикой узкополосного полосового фильтра у которого середина полосы пропускания соответствует частоте вырезания (режекции).

=

3. Фильтрация во временной и частотной областях

Как было сказано выше, сейсмические сигналы могут рассматриваться в пространственно-времен­ной и пространственно-частотной областях. Связь между обеими формами представления описывается выражениями (6) и (7), а процедура фильтрации – выражениями вида (8):

(8’) ,

где f_вх(t), f_вых(t) – сейсмические сигналы на входе и выходе фильтра (во временной области), F_вх(ω), F_вых(ω) – комплексные спектры сейсмических сигналов на входе и выходе фильтра, h(t), H(ω) – временнáя (импульсная) и комплексная частотная характеристики фильтра.

Комплексная частотная характеристика идеального полосового фильтра может быть записана как:

(17)

Комплексные спектры и комплексную частотную характеристику можно представить в действительной форме – в виде амплитудно-частотных и фазово-частотных спектров:

(18)

Здесь |F(ω)| – амплитудно-частотный спектр сейсмического сигнала, |H(ω)| – амплитудно-частотная характеристика фильтра (АЧХ),

φ(ω) – фазово-частотный спектр сейсмического сигнала,

ψ(ω) – фазово-частотная характеристика фильтра (ФЧХ),

Процедура фильтрации в таком представлении описывается выражениями:

(19)

Из (19) видно, что в спектральной области процедура фильтрации выполняется достаточно просто – она сводится к перемножению последовательностей чисел, представляющих собой АЧХ входного сигнала и фильтра, и сложению последовательностей, описывающих их фазовые характеристики. Но эта простота достигается необходимостью предварительного преобразования фильтруемых сигналов из временной формы в частотную с помощью Фурье-преобразования (6) или (7).

Во временной области над входным сигналом f(t) и временнóй характеристикой фильтра выполняется операция свёртки (8’), описываемая интегралом свёртки (интегралом Дюамеля):

в непрерывной форме: (20)

здесь – усечённый оператор частотного фильтра,

 – временнóй сдвиг функций f(t) и .

или в дискретной форме: (21)

здесь m – номер отсчёта входного сигнала, n – длина оператора в отсчётах, j – номер отсчёта в операторе,

t – шаг дискретизации входного сигнала и оператора фильтра.

Из выражений (20) и (21) видно, что выполнение собственно процедуры фильтрации во временной области более сложно, чем в спектральной, что, однако, искупается тем, что не требуется предварительного преобразования сигнала. Таким образом, фильтрация во временной и в частотной области в целом оказываются равноценными по сложности.

Для упрощения фильтрации в частотной области достаточно часто используется так называемое z-преобразование, позволяющее упростить вычисление спектра дискретизированного сигнала. Запишем Ф-преобразование в дискретной форме (7), опуская общий множитель перед знаком суммы:

F_ω = = (22)

Обозначм z = , тогда равенство (22) можно записать как: F_ω = f₀·z⁰ + f₁·z¹ + f₂·z² + f₃·z³ + …. (23)

Например: если f_m = {-3 -2 1 3 2}, то F_ω = (-3)·z⁰ + (-2) z¹ + (1) z² +(3) z³ + (2) z⁴

Таким образом, заранее вычислив степени функции z легко получить F_ω = f (z), а задав требуемую частотную характеристику фильтра H_ω можно выполнить частотную фильтрацию в спектральной области F_{вых ω} = f_вх (z) · H_ω.