11.5 Закон Кирхгофа

Для всякого тела энергия излучения и энергия поглощения зависят от температуры и длины волны.

Различные тела имеют различные Е - плотности интегрального излучения и А - поглощательные способности тела (коэффициенты поглощения).

Зависимость между ними устанавливается законом Кирхгофа.

Рассмотрим теплообмен излучением между двумя пластинами с неодинаковыми температурами, причем первая пластина является абсолютно черной с температурой Т_s, а вторая серой с температурой Т. Расстояние между пластинами значительно меньше их размеров, так что излучение каждой из них попадает на другую.

Вторая поверхность излучает на абсолютно черную поверхность по закону Стефана-Больцмана энергию Е, которая полностью поглощается черной поверхностью. В свою очередь абсолютно черная поверхность излучает на эту вторую поверхность энергию . Часть энергии ·А поглощается серой поверхностью, а остальная энергия (1 - А)· , снова отражается на первую (абсолютно черную) и ею поглощается.

Серая поверхность получает энергию ·А, а расходует Е. Следовательно, уравнение теплового баланса имеет вид:

Q = E - ·А (11.19)

При равенстве температур Т и Т_s тепловой поток Q равен 0, откуда:

E = ·А, или Е/А = . (11.20)

Уравнение (11.20) является математическим выражением закона Кирхгофа:

Отношение излучательной способности тела к его поглощательной способности одинаково для всех серых тел, находящихся при одинаковых температурах, и равно излучательной способности АЧТ при той же температуре.

Из закона Кирхгофа можно сделать ряд выводов:

1) Если тело обладает малой поглощательной способностью, то оно одновременно обладает и малой излучательной способностью (полированные металлы);

2) АЧТ, обладающее максимальной поглощательной способностью, имеет и наибольшую излучательную способность;

Закон Кирхгофа справедлив и для монохроматического излучения. Отношение интенсивности излучения тела при определенной длине волны к его поглощательной способности при той же длине волны для всех тел одно и тоже, если они находятся при одинаковых температурах, и численно равно интенсивности излучения АЧТ при той же длине волны и температуре, т.е. является функцией только длины волны и температуры:

Е_λ /А_λ = I_λ/А_λ =

3) Поэтому тело, которое излучает энергию при какой-то длине волны, способно поглощать ее при той же длине волны. Если тело не поглощает энергию в какой-то части спектра, то оно в этой части спектра и не излучает.

4) Из закона Кирхгофа также следует, что степень черноты серого тела при одной и той же температуре численно равна коэффициенту поглощения А:

ε = I_λ/ I_sλ = Е/ = С/С_s = А.

11.6 Закон Ламберта

Энергия, излучаемая телом, распространяется в пространстве с различной интенсивностью.

Закон, устанавливающий зависимость интенсивности излучения от направления, называется законом Ламберта.

Согласно закону Ламберта количество энергии, излучаемое элементом поверхности dF₁ в направлении элемента dF₂, пропорционально произведению количества энергии, излучаемого по нормали dQ_n, на величину пространственного угла dω и cos φ, составленного направлением излучения с нормалью:

(11.21)

где Е_n – энергия излучения в направлении нормали.

Следовательно, наибольшее количество энергии излучается в перпендикулярном направлении к поверхности излучения, т.е. при φ = 0. С увеличением φ количество энергии излучения уменьшается и при φ = 90^о равно нулю.

Для определения количества Е_n (плотности излучения по нормали), необходимо уравнение (11.21) проинтегрировать по поверхности полусферы, лежащей над плоскостью dF₁.

Телесный угол dω представляет собой угол, под которым из какой-либо точки dF₁ видна площадка dF₂ на поверхности сферы радиусом r.

Отсюда следует, что:

(11.22)

где φ – угол, дополнительный к углу широты;

ψ- угол долготы.

Рисунок 11.4 Излучение в направлении полусферы

Подставив уравнение (11.22) в уравнение (11.21) получим:

(11.23)

Проинтегрируем это выражение по всей поверхности полусферы, т.е. в пределах изменения угла φ от 0 π/2 и угла ψ от 0 до 2 π.

В результате интегрирования найдем энергию, излучаемую элементом dF₁, в пределах полусферы, равную Е· dF₁.

Следовательно,

(11.24)

откуда:

(11.25)

Из этого уравнения следует, что: энергия излучения в направлении нормали в π раз меньше плотности интегрального полусферического излучения абсолютно черного (или серого) тела, определяемого по закону Стефана-Больцмана.

Поэтому уравнение закона Ламберта принимает вид:

(11.26)

Формула (11.26) получена для интегрального излучения элемента dF₁, но она справедлива и для монохроматического излучения и является основой для расчета лучистого теплообмена между поверхностями конечных размеров.

Закон Ламберта полностью справедлив и для АЧТ и для серого тела, а для тел обладающих диффузным излучением, только в пределах φ = 0 – 60^о. Для полированных поверхностей закон Ламберта неприменим.