9

ТМО-3 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ И ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПЕРВОГО РОДА

3.1 Теплопроводность при стационарном режиме и граничных условиях I рода через однослойную плоскую стенку

Рассмотрим случай теплопроводности в плоской однослойной стенке.

§

Рисунок 3.1 Теплопроводность в плоской однослойной стенке при λ = const

Стенка однородна и изотропна. Дифференциальное уравнение теплопроводности позволяет определить температуру в зависимости от времени для любой точки рассматриваемой стенки.

. (3.1)

Сформулируем условия однозначности.

1. Температуры поверхностей стенки t_ст´ и t_ст´´ поддерживаются постоянными, т.е. поверхности стенки являются изотермными поверхностями. Температура меняется только в направлении, перпендикулярном к плоскости стенки, которое принимаем за х.

2. Длина и ширина этой стенки бесконечно велики по сравнению с ее толщиной δ. Стенка имеет во всех своих частях одинаковую толщину.

3. Коэффициент теплопроводности λ постоянен для всей стенки.

4. Граничные условия I рода: При х =0 t_ст´=const, а при х = δ t_ст´´=const.

При стационарном тепловом режиме, температура в любой точке тела не зависит от времени, т.е. .

При принятых условиях первые и вторые производные от t по y и z также равны нулю: . А коэффициент температуропроводности вещества стенки а не может быть равен нулю. Поэтому уравнение (3.1) для рассматриваемого случая запишется:

(3.2)

После интегрирования уравнения (3.2):

. (3.3)

После вторичного интегрирования:

t = A·x + B. (3.4)

Так как задано, что λ постоянен, то уравнение (3.4) является уравнением прямой линии. Следовательно, закон изменения температуры при прохождении теплоты через плоскую однослойную стенку будет линейным.

Из граничных условий определятся постоянные интегрирования А и В.

При х =0, температура стенки равна t_ст´, т.е.

t = t_ст´ = В;

при х = δ, t = t_ст´´= А·δ + t_ст´, откуда:

. (3.5)

Из уравнения Фурье плотность теплового потока:

.

Абсолютная величина плотности теплового потока в стенке:

, Вт/м². (3.6)

Общее количество теплоты, которое передается через поверхность стенки площадью F за время τ:

, Дж. (3.7)

А тепловой поток в единицу времени:

, Вт. (3.8)

Уравнение для вычисления плотности теплового потока при переменном коэффициенте теплопроводности, зависящем от температуры, получено также на основе уравнения Фурье:

, Вт/м². (3.9)

В этом уравнении коэффициент теплопроводности принят равным средне интегральной величине в заданном интервале температур:

, Вт/м·град. (3.10)

А уравнение температурной кривой в стенке:

, ^оС. (3.11)

В уравнениях 3.9, 3.10, 3.11 b – коэффициент, определяемый экспериментально.

Из уравнения (3.11) следует, что при λ зависящем от температуры, температура внутри стенки изменяется по кривой (см. рис. 3.2). Если коэффициент b отрицателен, то кривая будет направлена выпуклостью вниз, если коэффициент b – положителен, то выпуклостью вверх.

Рисунок 3.2 Теплопроводность в плоской однослойной стенке при λ ≠ const