Линейная статистическая модель (линейная регрессия от одного параметра)

При моделировании химико – технологических процессов (ХТП) во многих случаях связь между входными (x) и выходными (y) параметрами можно аппроксимировать линейным полиномом (зависимостью).

, (7)

Для получения вида математической модели необходимо определить коэффициенты уравнения регрессии b₀ и b₁. Для этого применяется метод наименьших квадратов.

(8)

Таким образом, процедура нахождения коэффициентов регрессии сводится к задаче определения минимума функции. Необходимое условие минимума функции является равенство нулю частных производных функции по исходным величинам (коэффициентам).

(9)

(10)

(11)

Решая систему уравнений, выражаем коэффициенты b₀ и b₁.

(12)

(13)

После вычисления коэффициентов необходимо провести статистический анализ полученного уравнения регрессии с целью проверки модели на адекватность.

Статистические модели в виде нелинейных полиномов. Параболическая регрессия.

П

(14)

ри составлении статистических моделей ХТП часто возникает необходимость использовать уравнения нелинейной формы, в частности полином второй степени.

Коэффициенты регрессии определяем по методу наименьших квадратов.

(15)

Приравняем к нулю частные производные функции по коэффициентам b₀, b₁, b_2.

(16)

Выполнив преобразования, получим систему линейных уравнений с тремя неизвестными (b₀, b₁,b₂).

(17)

Введем обозначения:

; ; ; ;

(18)

; ; .

С учетом принятых обозначений система будет иметь следующий вид:

(19)

Определим неизвестные коэффициенты b₀, b₁, b₂.

(20)

(21)

(22)

.

После решения системы уравнений и вычисления коэффициентов b₀, b₁, b₂ проводится статистический анализ полученного уравнения регрессии. Аналогичным образом будут определяться коэффициенты параболы любого порядка. Исследование уравнения проводится по статистическим критериям. Однако в этом случае не требуется вычислять выборочные коэффициенты корреляции. Адекватности уравнения регрессии эксперименту можно добиться, повышая степень полинома. Однако при этом все коэффициенты следует вычислять заново, так как существует корреляция между коэффициентами.

3. Пример разработки уравнения регрессии

Определить зависимость теплоемкости бутана от температуры. Объем выборки N = 9.

Т, К	298	300	400	500	600	700	800	900	1000
Ср, кал/моль К	23,29	23,40	29,60	35,34	40,30	44,55	48,23	51,44	54,22

I. Для описания зависимости теплоемкости бутана от температуры выберем полином второго порядка:

.

Определим коэффициенты уравнения по формулам (20) – (22). Для этого составим программу расчета, в основе которой лежит алгоритм метода наименьших квадратов (15). Блок – схема алгоритма приведена на рис. 4.

В результате расчетов, выполненных по программе, были получены следующие значения коэффициентов регрессии: b₀=1,24; b₁=8,3 10^-2; b₂=3,018 10^-5. Коэффициент парной корреляции рассчитываем по формуле (4) или (5).

В результате уравнение регрессии будет иметь вид:

Результаты расчета представлены в табл. 1.

Таблица 1.

Температура, К	Теплоемкость, кал/моль К		Абсолютная погрешность
	Срэксп	Сррасч
298	23,29	23,31	0,02
300	23,40	23,44	0,04
400	29,60	29,63	0,03
500	35,34	35,22	0,12
600	40,30	40,20	0,10
700	44,55	44,58	0,03
800	48,23	48,36	0,13
900	51,44	51,53	0,09
1000	54,22	54,10	0,12

Среднеквадратическое отклонение рассчитывается по формуле

,

Величина ошибки S =0,0919 показывает, что расчетные значения достаточно хорошо совпадают с экспериментальными, а, следовательно, зависимость теплоемкости бутана от температуры можно описать полиномом второго порядка. Значение коэффициента парной корреляции равно r_xy =0.991

II. Проведена обработка экспериментальных данных в EXСEL с целью получения теоретической зависимости наилучшим образом описывающей экспериментальные данные. На рис. 5 приведены результаты обработки данных в EXCEL.