Занятие № 29 Преломление на сферической поверхности

Одной из самых важных оптических задач является формирование изображения видимого предмета на фотопластинке, сетчатке глаза или матрице фотоприемника. Ранее мы видели, что изображение может быть сформировано лучами, проходящими через малое отверстие на экране, расположенном за ним (камера-обскура). Для получения четкого изображения отверстие должно быть очень мало, поэтому освещенность изображения также мала. Фотоприемник не в состоянии зафиксировать такой малый сигнал. Для усиления сигнала нужно сфокусировать в точке изображения более широкий пучок лучей, исходящих из соответствующей точки источника. Расходящийся пучок нужно преобразовать в сходящийся. Пластина и призма, рассмотренные ранее, для этого не подходят – они поворачивают все лучи на одинаковые углы. Для фокусировки же необходимо лучи, идущие под большим углом, поворачивать сильнее. Преломляющая поверхность должна быть кривой. Простейшая кривая поверхность – сфера. Поэтому рассмотрим преломление пучка лучей на сферической поверхности.

На рисунке пространство разделено сферической поверхностью BO на две части. Левая заполнена средой с показателем преломления n₁ (например, воздухом), правая n₂ (стеклом). Центр сферы находится в точке A. Ее радиус OA=OB=R. Если поместить в точку S точечный источник света, то он будет испускать расходящийся пучок лучей (один луч SB показан). Попав на поверхность, он испытает преломление по известному нам закону и пересечет ось SOA в точке S’. Разные лучи, выходящие из S будут иметь разные точки S’, но если угол BSO мал (то есть лучи идут почти вдоль оси SOA), то они соберутся в одной точке S’, которая называется изображением точки S. Такой пучок лучей называется параксиальным (приосевым). Именно он формирует четкое изображение рассматриваемого предмета.

Воспользуемся теоремой синусов для ΔSBA.

Воспользуемся теоремой синусов для ΔS’BA.

Поделив уравнения друг на друга, получим

Обозначим SO=s. Поскольку лучи идут под малыми углами к оси, то

Обозначим S’O=s’. Поскольку лучи идут под малыми углами к оси, то

Закон преломления .В наших обозначениях полученное уравнение имеет вид

Получено уравнение преломления луча на сферической поверхности. Оно примечательно тем, что для параксиальных лучей оно не зависит от угла φ, поэтому все параксиальные лучи, испущенные источником s, соберутся в одной точке прямой SOA, точке s’. Получено точечное (стигматическое) изображение источника. Расходящийся пучок лучей преобразован в сходящийся. Преобразуем полученное уравнение.

Получена формула преломления на сферической поверхности. Зная положение источника, по ней можно вычислить положение изображения.

Фокусы преломляющей поверхности. Если источник s очень далеко, то идущие от него лучи практически параллельны оси SOA. После преломления они пересекутся в точке, называемой фокусом F. Его легко вычислить. Это задний фокус. Передний фокус – точка схождения параллельного пучка, идущего справа. Его легко найти, сообразив, что лучи, вышедшие из левого фокуса, преобразуются в параллельный пучок, идущий направо.

Видно, что .

(Школьникам не читать!) Для согласования этих формул с правилом знаков, принятом в серьезных оптических учебниках я замечу, что величины s и s’ приняты положительными, если находятся слева и справа соответственно, радиус R положителен, если он откладывается направо от вершины поверхности.

Полный анализ положения и величины s’ мы дадим для тонкой линзы ниже, а сейчас рассмотрим лишь ситуацию для R>0 и n₂>n₁ изображенную на первом рисунке.

Видно, что при s<F’ величина s’ становится отрицательной. Что это значит? Просто изображение теперь не справа, а слева. Но ведь лучи не возвращаются налево, чтобы там пересечься. Они вообще не пересекаются, пучок остается расходящимся.

Значит, будут пересекаться продолжения преломленных лучей. Они изображены пунктиром. Их пересечение и даст то самое «отрицательное» изображение, находящееся слева. Оно называется мнимым. Самостоятельно докажите, что при n₂>n₁ оно находится левее источника.

Полученную формулу можно использовать для преломления на нескольких поверхностях, нужно лишь брать все отрезки с правильными знаками.