Вариант № 1

Задание 1. Вывести закон Ома в дифференциальной форме и объяснить его смысл.

Электрическим током называется направленное движение электрических зарядов. Электрический ток может быть обусловлен движением как отрицательных, так и положительных носителей тока. В металлах носителями тока являются свободные электроны. Количественной мерой электрического тока является сила тока I - скалярная физическая величина, численно равная заряду, проходящему через поперечное сечение проводника за единицу времени

Ток, величина и направление которого не изменяется со временем, называется постоянным. Физическая величина, определяемая силой тока, проходящего через единицу площади поперечного сечения проводника, перпендикулярного направлению тока, называется плотностью тока(j)

Для постоянного тока: ,

Плотность тока  вектор, направление которого совпадает, с направлением упорядоченного движения положительных зарядов.

Пусть V скорость упорядоченного движения зарядов в проводнике , n  число носителей тока в единице объема проводника, а заряд одного носителя равен элементарному заряду e. Тогда за время через поперечное сечение проводника будет перенесен заряд , а плотность тока будет равна

(1)

По закону Ома сила тока I в проводнике прямо пропорциональна напряжению U на проводнике и обратно пропорциональна сопротивлению проводника R.

( 2 )

Сопротивление проводника

(3)

где L  длина проводника, S  площадь поперечного сечения, ρ  удельное сопротивление.

Величина называется удельной электропроводностью материала проводника. Она зависит от свойств материала и температуры.

Закон Ома (2) можно представить в дифференциальной форме. Подставляя (3) в (2), получим:

(4)

Учитывая, что - плотность тока, - удельная электропроводность,  напряженность электростатического поля в проводнике, формулу (4) можно записать в виде

(5)

Так как направление упорядоченного движения положительно заряженных частиц в каждой точке проводника совпадает с направлением вектора , то направления и совпадают. Поэтому формулу (5) можно записать в векторной форме

(6)

В ыражение (6)  закон Ома в дифференциальной форме, согласно которому плотность тока в любой точке проводника прямо пропорциональна напряженности электрического поля в этой точке.

Задание 2. Три источника ЭДС ε₁ = 11В, ε₂ = 4В, ε₃ = 6В и три реостата с сопротивлениями R₁ = 5 Ом, R₂ = 10 Ом, R₃ =2 Ом соединены, как показано на рисунке. Определить силы токов I в реостатах. Внутреннее сопротивление источника тока пренебрежимо мало.

Дано:

ε₁ = 11В; ε₂ = 4В, ε₃ = 6В;

R₁ = 5 Ом, R₂ = 10 Ом, R₃ =2 Ом;

r – пренебрежимо мало

Определить:

I₁ - ?, I₂ - ?, I₃- ?

Решение:

Соединение проводников параллельное.

Для решения задачи воспользуемся правилами Кирхгофа.

Согласно I правилу Кирхгофа сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов выходящих из узла.

Поэтому I₁ + I₂ = I₃ (токи I₁ и I₂ входят в узел В, а ток I₃ выходит из него).

Согласно II правилу Кирхгофа алгебраическая сумма ЭДС, входящих в замкнутый контур, равна алгебраической сумме произведений сил токов на сопротивления, через которые эти токи текут в данном контуре:

I₁ R₁ - I₂ R₂ = ε₁ - ε₂

I₂ R₂ + I₃ R₃ = ε₂ – ε₃

Решим систему уравнений:

I₁ R₁ - I₂ R₂ = ε₁ - ε₂

I₂ R₂ + I₃ R₃ = ε₂ – ε₃

I₁ + I₂ = I₃

5I₁ - 10I₂ = 11-4=7

10I₂ + 2I₃ = 4-6= -2

I₁ + I₂ = I₃

I₁ = ; I₃ =

+ I₂ = ;

2(7+10 I₂) + 10 I₂ -5(-2-10 I₂) = 0;

14+20 I₂+10 I₂+10+50 I₂ = 0;

80 I₂ = -24; I₂ = -24/80 = -0,3А;

I₃ = 0,5А;

I₁ = 0,8А;

Проверка:

I₁ + I₂ = I₃

0,8-0,3 = 0,5

0,5=0,5

Ответ: I₁ = 0,8А; I₂ = -0,3А; I₃ = 0,5А. Знак «-« означает, что ток I₂ антинаправлен обходу контура.

Задание 3. Напряженность Н магнитного поля в центре кругового витка равна 200А/м. Магнитный момент р_m равен 1 А/м². Вычислить силу тока I в витке и радиус R витка.

Дано:

Н = 200А/м

р_m =1 А/м².

I - ?, R - ?

Решение:

Индукция магнитного поля кругового витка равна:

В = μ_оμI,

Где μ_о – магнитная постоянная = 4π·10^-7 Гн/м

μ – магнитная проницаемость среды (для воздуха = 1).

В = Н·μ_оμ

I = В/μ_оμ = Н·μ_оμ / μ_о = 200·1 = 200 А

р_m = I·S = I·πR²

R = = = 0,4 м.

Ответ: I = 200А, R = 0,4 м.

Задание 4. Определить магнитную индукцию в центре кругового витка радиуса R =10 см, образованной бесконечным тонким проводом с током. Форма петли изображена на рисунке. Ток в проводе I = 100 А.