ГОМЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ Ф.СКОРИНЫ
Кафедра алгебры и геометрии
А.Д. Ходалевич
Основное содержание лекционного курса
«Геометрия и алгебра»
Для специальности «Прикладная математика»
Аналитическая геометрия.
Гомель, 2004
УДК 514 122
Рецензенты: Семенчук В.Н. – доктор физико-математических наук.
Скиба А.Н. – доктор физико-математических наук.
Дается краткое изложение курса лекций по аналитической геометрии для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная математика»
Рекомендовано к печати ученым советом Гомельского государственного университета им. Ф. Скорины
© Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины.
Учебное издание
ХОДАЛЕВИЧ АЛЕКСАНДР ДМИТРИЕВИЧ
Краткий курс лекций по геометрии и алгебре специальность
"Прикладная математика" "Аналитическая геометрия".
Подписано в печать __.__.__. Формат 60x84 1/16. Бумага писчая № 1
Печать офсетная. Усл. П. Л. 2,3. Уч.-изд.л. 20. Тираж ___ экз.
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Отпечатано на ризографе Учреждения образования
«Гомельский государственный университет имени
Франциска Скорины»
246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
Литература:
1. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М: Наука, 1979.
2. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976.
3. Бузланов А.В., Монахов В.С. Лабораторные работы по курсу «Алгебра и теория чисел». – Гомель: Ротапринт ГГУ им. Ф. Скорины, 1991.
4. Бузланов А.В., Каморников С.Ф., Кармазин А.П. Лабораторные работы по курсу «Алгебра и теория чисел» (раздел «Линейная алгебра») для студентов математического факультета. Часть I, II, III. – Гомель: Ротапринт ГГУ им. Ф. Скорины, 1990, 1991.
5. Бурдун А.А., Мурашко Е.А., Толкачёв М.М., Феденко А.О. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии. – Мн.: Университетское, 1989.
6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1982.
7. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974.
8. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1968.
9. Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Часть I, II. – Мн.: Вышэйшая школа, 1984, 1987.
10. Рублёв А.Н. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Вышэйшая школа, 1972.
70
Аналитическая геометрия- это раздел математики, в котором геометрические объекты изучаются с помощью алгебраических методов, в основе которых лежит понятие координат.
Глава 1. Векторы и координаты
§ 1. Понятие вектора
Пусть А – произвольное непустое множество. Декартовым кваратом А называется множество
A2
=
Бинарным
отношением
на А называется любое подмножество
множестваA2.
Отношением
эквивалентности
на А называется такое бинарное отношение
на А, которое удовлетворяет следующим
условиям:
1)
(рефлексивность);
2)
если (
,b)
то (b,
)
(симметричность);
3)
если (
,b)
то (
,c)
(транзитивность).
Теорема. Любое отношение эквивалентности на множестве А определяет разбиение этого множества на попарно непересекающиеся классы (классы эквивалентности). Обратно, любое разбиение множества А на попарно непересекающиеся классы определяет отношение эквивалентности на А.
Направленный
отрезок
– отрезок, у которого указано, какая
точка является началом, а какая концом.
Обозначается
.
Пусть заданы направленные отрезки
и
,
не лежащие на двух различных параллельных
прямых, и плоскость
,
проходящая через точки В иD.
Тогда плоскость
разбивает все пространство на два
полупространства. Если при этом точкиBиDлежат
в одном полупространстве, то говорят,
что направленные отрезки
и
одинаково направлены(обозначается
).
В противном случае,
3
они
называются противоположно
направленными
(обозначается
).
Если
направленные отрезки
и
лежат на одной прямой, то они одинаково
(противоположно) направленны, если
существует такой третий направленный
отрезок
,
который одинаково направлен с каждым
из направленных отрезков
и
(противоположно направлен в точности
с одним из направленных отрезков
или
).
Абсолютной
величиной
или модулем
(длиной)
направленного отрезка 
называется
длина этого направленного отрезка и
обозначается |
|.
Два
направленных отрезка
и
называютсяравными,
если
и
,
при этом пишут
=
,
Теорема. Отношение равенства направленных отрезков является отношением эквивалентности.
Тогда вектором называется абстрактный объект, совпадающий с некоторым классом эквивалентности.
Таким образом, каждый из равных друг другу направленных отрезков считается представлением (изображением) данного вектора, а неравные направленные отрезки считаются представлением разных векторов. Поэтому в дальнейшем вектор изображается точно так, как и соответствующий ему направленный отрезок.
Векторы
и
называютсяколлинеарными,
если образующие их направленные отрезки
параллельны одной и той же прямой
(обозначается
||
).
Три и более векторов называются компланарными, если образующие их направленные отрезки параллельны некоторой плоскости.
Нулевым векторомназывается
вектор, начало которого совпадает с его
концом (обозначается
).
Направление нулевого вектора не
определено.
4