Задача 4.
На меблевій фабриці зі стандартних листів фанери потрібно вирізати 24, 28 і 18 заготовок трьох розмірів. Лист фанери можна розрізати двома способами. Кількість отриманих заготовок та площу відходів за кожного способу розрізування одного листа фанери наведено в таблиці:
Заготовка |
Кількість отриманих заготовок, шт., за способами |
|
першим |
другим |
|
1 |
2 |
6 |
2 |
4 |
4 |
3 |
2 |
3 |
Площа відходів, см2 |
12 |
18 |
Скільки листів фанери та за яким способом слід розрізати, щоб отримати потрібну кількість заготовок з мінімальними відходами.
Побудова математичної моделі. Нехай х1, х2 — кількість листів фанери, які необхідно розрізати відповідно першим і другим способом.
Цільова функція — мінімізація відходів під час розрізування листа фанери. Математично це записується так:
Z = 12х1 + 18х2 max.
Обмеження математичної моделі враховують кількість заготовок кожного виду, які потрібно отримати:
для заготовки 1 2х1 + 6х2 ≥ 24;
для заготовки 2 4х1 + 4х2 ≥ 28;
для заготовки 3 2х1 + 3х2 ≥ 18;
Отже, математична модель задачі має вигляд
Z = 12х1 + 18х2 min (2.27)
за обмежень
|
(2.28) (2.29) (2.30) (2.31) |
Розв’язування. Графічне розв’язування задачі оптимального розрізування ілюструє рис. 2.13. Область допустимих розв’язків цієї задачі необмежена. Вектор = (12; 18) можна змінити згідно з масштабом графіка, наприклад = (6; 9).
Рис. 2.13
Точка В утворюється перетином прямих (2.29) і (2.30); її координати визначаємо із системи рівнянь
звідки .
Точка С лежить на перетині прямих (2.28) і (2.30); її координати визначаємо із системи рівнянь
отже, .
Повертаючись до економічного змісту розв’язаної задачі, маємо такі результати. Якщо розрізати 7 листів фанери, з яких 3 листи — першим способом, а 4 — другим, то матимемо найменшу площу відходів — 108 см2. Але такі самі мінімальні втрати будуть і в разі розрізування шести листів першим способом і двох — другим.
Будь-який інший альтернативний оптимальний план задачі можна записати як опуклу лінійну комбінацію отриманих двох крайніх розв’язків:
,
де .
Наприклад, нехай 1 = 2 = 0,5. Тоді ще один оптимальний план задачі визначається так:
Х * = 0,5 (3; 4) + 0,5 (6; 2).
Х * = (4,5; 3).
Цільова функція Z має таке саме мінімальне значення: min Z = 12 · 4,5 + 18 · 3 = 108.