- •Федеральное агентство по образованию
- •Часть 1. Неопределённый интеграл
- •Пример решения простейшего интеграла.
- •На будущее:
- •Наиболее популярные методы решения неопределённых интегралов
- •1. Замена переменной интегрирования.
- •2. Приведение к «табличному виду».
- •3. Замена функции.
- •4. Интегрирование «по частям»
- •Рациональные дроби
- •Метод «неопределённых коэффициентов»
- •6. Тригонометрические функции.
- •6.1. Интегралы типа , .
- •6.2. Интегралы типа
- •6.3. Интегралы типа
- •6.4. Интегралы типа
- •6.5. Интегралы типа .
- •2А: ─ см. Пример 3;
- •2Б: ─ см. Пример 9.
- •7. Тригонометрические подстановки
- •8. Интегралы с иррациональностью типа .
- •Приложение 2 Построение таблицы исходных данных и соответствующего ей совмещённого графика
- •Построение графика
- •Часть I. Неопределённый интеграл Кузема Владимир Евгеньевич Требухин Сергей Александрович
- •620002, Екатеринбург, ул. Мира,19
- •620002, Екатеринбург, ул.Мира,19
6.3. Интегралы типа
Поверхностный взгляд на подынтегральные функции данной группы вызывает очевидные ассоциации с формулами и . Вспомним, что:
Рассмотрим для примера решение интеграла . Для него подходит первая из этих формул. В результате такого преобразования решением этого интеграла будет
.
Аналогично решаются и остальные интегралы.
Пример 17.
Рецепт. Применив одну из ранее приведённых формул, получаем решение:
.
6.4. Интегралы типа
Такого рода интегралы сводятся к табличным интегралам простой подстановкой: для первого интеграла и - для второго.
Пример 18.
Рецепт. Используем замену и получаем решение = . После обратной подстановки получаем решение: .
Пример 19.
Рецепт. Ранее был рассмотрен интеграл , поэтому данный интеграл решаем рассмотренным ранее методом «по частям»:
Нетрудно заметить, что мы снова имеем рекурсию. Отсюда искомый интеграл
6.5. Интегралы типа .
К таким интегралам наиболее эффективно (а зачастую – единственным образом) применение описанной выше «универсальной подстановки»:
Вспомним, что , , и (см. стр. 16) . Тогда интеграл примет вид: = = = .
В зависимости от конкретного сочетания значений коэффициентов получаем два основных исхода (с вариациями):
см. Пример 4.
. Этот случай, в свою очередь, распадается в зависимости от знака дискриминанта знаменателя = на два варианта:
2А: ─ см. Пример 3;
2Б: ─ см. Пример 9.
Рассмотрим конкретный пример:
Пример 20. .
Рецепт. Здесь , , , = .
Согласно вышеприведённой формуле с использованием универсальной подстановки данный интеграл получает вид = = . Значение дискриминанта . Тогда корни трёхчлена знаменателя вычисляем по формуле = . В соответствии с методом «неопределённых коэффициентов» =
= . Отсюда имеем систему двух линейных уравнений для коэффициентов и : . Тогда и , а = . Обратная подстановка даёт конечный ответ +С.
7. Тригонометрические подстановки
Часто в состав подынтегральных функций входят радикалы трёх видов: , и . В этих случаях применяются соответствующие так называемые «тригонометрические» подстановки:
Для - , соответственно.
Рассмотрим применение этой рекомендации на конкретном примере.
Пример 21.
Рецепт. Преобразуем подынтегральную функцию = и замещаем аргумент по одному из двух вариантов (см. выше), например, , тогда . В итоге = = = . Обратная постановка: , = и даёт конечный результат = = + .
2. Для - . Дальше следует решение примера на эту тему.
Пример 22. .
Рецепт. Здесь , поэтому применим вариант замены из двух предложенных выше, например, .
= = . Это уже знакомый интеграл (см. Пример 11), тогда +С. Нетрудно показать, что = = . После обратной подстановки = = .
Итак, имеем конечный результат: +С.
Для - . Решим соответствующий пример.
Пример 23. .
Рецепт. Здесь . Согласно рекомендациям выберем, например, вариант . Тогда искомый интеграл = = . Это интеграл, рассмотренный ранее, тогда промежуточное решение имеет вид: +С. Обратная подстановка даёт окончательное решение +С.