Лекція № 11 стискаючі відображення і метод ітерації

Одним з найбільш важливих інструментів математичного аналізу є теорема Банаха, яку називають також принципом стискаючих відображень. У цьому розділі теорема використовується для обґрунтування ітераційного методу наближеного розв'язку рівнянь з одним невідомим і систем рівнянь.

1. Основні визначення

В першій лекції було введено поняття метричного простору як деякої множини X із заданою на ньому метрикою (відстанню) ρ. Тим самим метричний простір являє собою пару (X, ρ), що складається з множини і відстані. Зміна будь-якого компонента цієї пари означає зміну метричного простору. Для стислості метричні простори будемо позначати так само, як і множини, за винятком випадків, коли зазначення відстані необхідно для конкретизації просторів.

Також в 1.2 розглянуті приклади метричних просторів, серед яких простір R дійсних чисел з метрикою, яка визначається за формулою (1.1), і три простори n-мірних дійсних числових векторів Rⁿ з метриками (1.2)-(1.4). Коли необхідно підкреслити вибір відстані в просторах векторів, простір Rⁿ з метрикою ρ₁, будемо позначати через , з метрикою ρ₂ – , з метрикою ρ_∞ – . В іншому випадку нижні індекси опускаємо.

При n=1 зазначені метричні простори векторів є не чим іншим, як простором R, оскільки тоді вектори мають одну числову координату, а всі ці три відстані між одновимірними векторами і рівні .

Простори R, є основними в даному розділі. Крім них знадобляться і інші простори, що визначаються на їх базі за такою схемою. Нехай X — метричний простір. Взявши будь-яку підмножину множини X, на ній природно ввести ту ж метрику , що і на X. Тоді вийде новий метричний простір, який називається метричним підпростором простору X.

Наприклад, проміжки (0;1) і [0;3] можна вважати метричними підпросторами простору R, оскільки відстань між точками цих проміжків також визначається за формулою (1.1). У свою чергу, інтервал (0;1) є метричним підпростором відрізка [0;3].

З курсу математичного аналізу відомо поняття функції однієї або кількох числових змінних, значеннями якої є числа. Аналогічно визначається функція в разі довільних множин М і N. При цьому замість терміна «функція» часто використовуються терміни «відображення» чи «оператор». Якщо , то елемент називають образом елемента х при відображенні F. Як і у випадку функцій, x можна називати аргументом, a F(x) — значенням відображення F, відповідним х.

Множина М називається областю визначення відображення F (позначимо його D_F), а множина — множиною значень цього відображення.

В цьому розділі мова піде про розв'язання рівнянь виду

(11.1)

де F є відображенням, заданим на одному з основних метричних просторів або на якому-небудь їх підпросторі. Це рівняння має сенс, якщо х і F(x) є або числами, або числовими векторами однієї і тієї ж розмірності. Більш того, завдання пошуку наближених рішень і оцінки їх похибок вимагають, щоб відстані між аргументами і між відповідними їм значеннями вимірювалися однаково. Отже, множина значень відображення F має бути підмножиною того ж основного метричного простору, в якому знаходиться її область визначення. Не може бути, наприклад, рівняння виду (11.1) з таким відображенням F, що , а , або , а

У випадку коли F — дійсна функція однієї змінної, рівняння (11.1) являє собою рівняння з одним невідомим. Розглянуті в 12.1 та 12.2 наведені системи з п рівнянь з п невідомими є окремими випадками рівняння (11.1) з відображенням типу «вектор → вектор».

Визначення 11.1. Елемент , при якому є правильною рівність

називається розв’язком (коренем) рівняння (11.1).

Розв'язок рівняння (11.1) називають також нерухомою точкою відображення F, оскільки його образ збігається з .

Приклад 11.1.

1. Функції відповідає рівняння виду (11.1): x. Корінь х=0,5 цього рівняння є нерухомою точкою функції .

2. Рівняння не має коренів, отже, у функції нерухомих точок немає.

3. При відображенні , що діє в просторі , отримаємо рівняння (у векторній формі), яке можна записати у вигляді системи рівнянь (в координатній формі)

Нерухомою точкою даного відображення є вектор (0,0).

3. Нехай на R³ визначено відображення , де 0 = (0, 0, 0) – нульовий вектор. В цьому випадку рівняння виду (11.1) скласти не можна, бо в його лівій частині буде тривимірний вектор, а в правій – невід'ємне число. Зрозуміло, що у даного відображення не може бути й нерухомої точки. ●

Визначення 11.2. Нехай X – метричний простір. Кажуть, що F відображає X в себе, якщо , тобто образ F(x) будь-якого елементу належить цьому ж простору.

Відображення, що переводить в себе деякий основний простір або його підпростір, володіє і зазначеним вище властивістю, при якій має сенс рівняння (11.1). Зворотне, взагалі кажучи, невірно. Дійсно, якщо раніше від заданого на множині X відображення F було потрібно лише, щоб X і множина його значень знаходилися в одному і тому ж основному просторі, то тепер має бути .

Специфіку відображення метричного простору в себе показує і такий факт: з не випливає, що F відображає в себе кожну підмножину D X.

Приклад 11.2.

Дійсні функції і відображають у себе свою область визначення R.

Нехай тепер . Оскільки , можемо сказати, що функція , відображає X в себе. А от функція не відображає X в себе, оскільки множина її значень дорівнює відрізку [-2,2]. Більш того, не відображає у себе жоден відрізок , крім одноточкового відрізка [0,0] (переконайтеся в цьому!). ●

Центральну роль надалі будуть відігравати наступні відображення.

Визначення 11.3. Нехай X – метричний простір. Задане на X відображення F називається стискаючим відображенням, або відображенням стискання на цьому просторі, якщо

1. F відображає X в себе;

2. F задовольняє на X умові Ліпшиця:

існує число q, таке, що

для всіх (11.2)

Число q при цьому називають коефіцієнтом стискання.

Помічаємо, що нерівність (11.2) вимагає від відображення стискання більш сильної властивості, ніж та, при якій образи будь-яких двох різних елементів виявлялися на меншій відстані один від одного, ніж. від Очевидно також, що коефіцієнт стискання визначається неоднозначно. Якщо, наприклад, нерівність (11.2) вірна при , то воно вірно і при будь-якому числі q з пів інтервалу [0,6;1).

Виконання наведених у визначенні 11.3 умов залежить як від особливостей відображення F, так і від простору, на якому воно розглядається. З цієї причини властивість стискання відображення, що має місце на X, зазвичай не поширюється на більшість його підпросторів. І навпаки, якщо відображення F володіє цією властивістю на якихось підпросторах X, воно може не виявитися стискаючим на всьому X.

Приклад 11.3.

Перевіримо, чи буде відображення стискаючим на кількох обраних нами метричних просторах.

Нехай . Зрозуміло, що функція відображає R в себе. З'ясуємо, чи задовольняє вона умові Ліпшиця. По теоремі Лагранжа для будь-яких двох різних точок маємо

(11.3)

де число c лежить між , і . Якщо взяти , то, оскільки при всіх , отримаємо нерівність . Це говорить про порушення умови Ліпшиця на R і, відповідно, про те, що дана функція не є стискаючою на R.

Тепер візьмемо простір . Функція відображає обраний відрізок в себе, бо для значення значення . Використовуючи рівність (11.3) для довільних з цього відрізка, будемо мати

Значить, відображення на даному просторі стискаюче, причому коефіцієнтом стиснення можна вважати .

На відрізку ця функція не буде стискаючою, хоча і задовольняє на ньому умові Ліпшиця (перевірте останнє твердження!). Справа в тому, що вона не відображає у себе цей відрізок, оскільки жодне значення , не належить [1;2]. ●

Нарешті, нам знадобиться поняття збіжності послідовності елементів метричного простору .

Визначення 11.4. Кажуть, що послідовність сходиться до елементу (записується: ) щодо метрики , якщо

(11.4)

Елемент називається при цьому межею послідовності щодо метрики .

У разі числових послідовностей умова (11.4) означає: при .

Коли – послідовність -мірних векторів, в позначенні -го вектора індекс будемо писати вгорі: . Можна показати, що послідовність векторів у розглянутих нами метричних просторах сходиться до деякого вектора тоді і тільки тоді, коли всі послідовності координат , сходяться до відповідних координат цього вектора (вправа 11.7). Зважаючи на це, наприклад,

відносно будь-якої з трьох метрик на .

Вправи

1. Покажіть, що функція відображає в себе , але не відображає у себе жоден відрізок , де .

2. Переконайтеся, що функція не відображає у себе область свого визначення, проте є проміжки, які дана функція переводить в себе. Знайдіть найбільший проміжок з такою властивістю.

3. Знайдіть множину значень заданого на відображення і переконайтеся, що відображає в себе.

4. Покажіть, що відображення:

є стискаючими на своїх областях визначення.

5. 1. Покажіть, що функція не є стискаючим відображенням на відрізку

2. Знайдіть хоча б один відрізок, на якому дана функція буде стискаючою.

6. Нехай дано відображення безлічі двовимірних числових векторів в себе, де

1. Напишіть формули обчислення координат вектора і знайдіть образ вектора при цьому відображенні.

2. Напишіть відповідну систему рівнянь виду (11.1).

3. Покажіть, що є відображенням стискання на

7. Нехай дана послідовність -мірних числових векторів Доведіть, що збіжність послідовності до вектора в просторах рівносильна покоординатній збіжності:

при всіх

7. Знайдіть границю послідовності двовимірних векторів і визначте номер , починаючи з якого члени стають ближче ніж на до цієї границі відносно відстаней