4 Задачи письменного экзамена

Раздел 3. Физика колебаний и волн

Глава 1. Кинематика и динамика гармонических колебаний

П.1.1 Амплитуда, период, частота, круговая частота, фаза гармонических колебаний

3.1 Гармонические колебания величины x описываются уравнением x=0,02cos(6πt+π/3), м. Определите: 1) амплитуду колебаний; 2) циклическую частоту; 3) частоту колебаний; 4) период колебаний.

Ответ: 1) А=0,02 м; 2) ω₀=6π 1/с; 3) ν=3Гц; 4) Т=0,33 с.

3.2 Запишите уравнение гармонического колебательного движения точки, совершающей колебания с амплитудой А = 8 см, если за t = 1 мин совершается n = 120 колебании и начальная фаза колебаний равна 45°.

Ответ:x=8cos(4πt+π/4), см.

3.3 Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой А = 4 см и периодом Т = 2 с. Напишите уравнение движения точки, если ее движение начинается из положения х₀ = 2 см.

Ответ: x=0,04cos(πt+π/3), м.

3.4 Точка совершает гармонические колебания с периодом Т = 6 с и начальной фазой, равной нулю. Определите, за какое время, считая от начала движения, точка сместится от положения равновесия на половину амплитуды.

Ответ: t = 1c.

3.5 Материальная точка совершает колебания согласно уравнению x=Asinωt. В какой-то момент времени смещение точки х₁ = 15 см. При возрастании фазы колебания в два раза смещение х₂ оказалось равным 24 см. Определите амплитуду А колебания.

Ответ: А = 25 см.

П.1.2 Скорость и ускорение гармонических колебаний. Основное уравнение динамики гармонических колебаний.

3.6 Напишите уравнение гармонического колебания точки, если его амплитуда А = 15 см, максимальная скорость колеблющейся точки v_max = 30 см/с, начальная фаза φ₀ = 10°.

Ответ: x=0,15cos(2t+π/18), м.

3.7 Точка совершает гармонические колебания по закону x=3cos(πt/2+π/8), см. Определите: 1) период Т колебаний; 2) максимальную скорость v_max точки; 3)максимальное ускорение а_mах точки.

Ответ: 1) Т = 4 с; 2) v_max = 4,71 м/с; 3) а_mах = 7,4 м/с².

3.8 Точка совершает гармонические колебания с амплитудой А =10 см и периодом T = 5 с. Определите для точки: 1) максимальную скорость; 2) максимальное ускорение.

Ответ: v_max = 12,6 см/с; а_mах = 15,8 см/с².

3.9 Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания, задается уравнением v(t)= - 6sin(2πt). Запишите зависимость смещения этой точки от времени.

Ответ: x= 3/π cos(2πt).

3.10 Материальная точка совершает гармонические колебания согласно уравнению, x=0,02cos(πt + π/2), м. Определите: 1) амплитуду колебаний; 2) период колебаний; 3) начальную фазу колебаний; 4) максимальную скорость точки; 5) максимальное ускорение точки; 6) через сколько времени после начала отсчета точка будет проходить через положение равновесия

Ответ: 1) A=2 см; 2) Т=2 с; 3)φ_о=π/2; 4) v_max =6,28 с; 5) a_max=19,7 см/с²;

6)t=0,1,2,3,c.

3.11 Определите максимальные значения скорости и ускорения точки совершающей гармонические колебания с амплитудой А = 3 см и периодом Т = 4 с.

Ответ: v_max = 4,71 см/с; 2) a_max = 7,4 см/с².

3.12 Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой v = 1 Гц, в момент времени t = 0 проходит положение, определяемое координатой х₀ = 5 см, со скоростью v₀ =15 см/с. Определите амплитуду колебаний.

Ответ: А = 5,54 см.

П.1.3 Возвращающая сила. Энергия

3.13 Тело массой m = 10 г совершает гармонические колебания по закону x=0,1cos(4πt+π/4), м. Определите максимальные значения: 1) возвра-щаю­щей силы; 2) кинетической энергии.

Ответ: 1)|F_max| = 0,158 Н; 2) T_max = 7,89 мДж.

3.14 Материальная точка массой т = 50 г совершает гармонические колеба-ния согласно уравнению, x=0,1cos(3πt/2), м. Определите: 1) возвращающую силу F для момента времени t = 0,5 с; 2) полную энергию Е точки.

Ответ: 1) F = 78,5 мН; 2) Е = 5,55 мДж.

3.15 Материальная точка массой m = 20 г совершает гармонические колебания по закону x=0,1cos(4πt+π/4), м. Определите полную энергию Е этой точки.

Ответ: Е = 15,8 мДж.

3.16 Полная энергия Е гармонически колеблющейся точки равна 10 мкДж, а максимальная сила F_max, действующая на точку, равна 0,5 мН. Напишите уравнение движения этой точки, если период Т колеба­ний равен 4 с, а начальная фаза φ =π/6.

Ответ: x=0,04cos(π/2+π/6), м.

3.17 Определите отношение кинетической энергии Т точки соверша­ющей гармонические колебания к ее потенциальной энергии П, если известна фаза колебания.

Ответ: Т/П = tg²(ω₀t+φ).

3.18 Определите полную энергию материальной точки массой m, колеблющейся по закону х=Аcos(ω₀t+φ).

Ответ: Е=mА²ω₀²/2.

П.1.4 Сложение колебаний одного направления. Векторные диаграммы. Биения

3.19 Два одинаково направленных гармонических колебания одинакового периода с амплитудами А₁ = 4 см и А₂, = 8 см имеют разность фаз φ=45°. Определите амплитуду результирующего колебания.

Ответ: А = 11,2 см.

3.20 Амплитуда результирующего колебания, получающегося при сло­жении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты, обладающих разностью фаз 60°, равна А = 6 см. Определить амплитуду А₂ второго колебания, если А₁= 5 см.

Ответ: А ₂= 1,65 см.

3.21 Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода Т = 4 с и одинаковой амплитуды А = 5 см составляет π/4. Напишите уравнение движения, получающегося в результате сложения этих колебаний, если начальная фаза одного из них равна нулю.

Ответ: x=9,24cos(πt/2+π/8), см.

3.22 Определите разность фаз двух одинаково направленных гармони­ческих колебаний одинаковой частоты и амплитуды, если амплитуда их результирующего колебания равна амплитудам складываемых колебаний.

Ответ: φ = 120°.

3.23 Складываются два гармонических колебания одного направления, описываемых уравнениями x₁=3cos(2πt), см, x₂=3cos(2πt+π/4), см. Определите для результирующего колебания 1) амплитуду; 2) начальную фазу. Запишите уравнение результирующего колебания и представьте векторную диаграмму сложения амплитуд.

Ответ: 1) А = 5,54 см; 2) φ = π/8.

3.24 Точка одновременно участвует в n одинаково направленных гармоничес-ких колебаниях одинаковой частоты: А₁cos(ωt+φ₁), А₂cos(ωt+φ₂),… А_ncos(ωt+φ_n). Используя метод вращающегося вектора амплитуды, определите для результирующего колебания: 1) амплитуду; 2) начальную фазу

Ответ:

3.25 Частоты колебаний двух одновременно звучащих камертонов настроены на 560 и 560,5 Гц. Определите период биений.

Ответ: Т_б = 2 с.

3.26 В результате сложения двух колебаний, период одного из которого Т₁ = 0,02 с, получают биения с периодом Т_б = 0,2 с. Определить период Т₂ второго складываемого колебания.

Ответ: Т₂ = 18,2 мс.

3.27 Складываются два гармонических колебания одного направления, имеющие одинаковые амплитуды и одинаковые начальные фазы с периодами Т₁ = 2 и Т₂ = 2,05 с. Определите: 1) период результирующего колебания; 2) период биения.

Ответ: 1)Т = 2,02с; 2)Т_б = 82с.

3.28 Результирующее колебание, получающееся при сложении двух гармонических колебаний одного направления, описывается уравнением вида х =Acos(t)cos(45t) (t – в секундах). Определите: 1) циклические частоты складываемых колебаний; 2) период биений результирующего колебания

Ответ: 1) ω₁ = 46 с^-1, 2) ω₂ = 44 с^-1; 2) Т₆ = 3,14 с.

П.1.5 Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний

3.29 Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x= 3 cosωt, см и у= 4 cosωt, см. Определите уравне­ние траектории точки и вычертите ее с нанесением масштаба.

Ответ: у=4х/3.

3.30 Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x = 3 cos(2ωt), см и у = 4 cos(2ωt + π), см. Определите уравнение траектории точки и вычертите ее с нанесением масштаба.

Ответ: у=-4х/3.